Manacher模板(O(n)内求最长回文串长度)
转自:https://segmentfault.com/a/1190000008484167
/*
由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,在字符间插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。举个例子:s="abbahopxpo"
,转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"
(这里的字符 $ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文abba
和一个奇回文opxpo
,被转换为#a#b#b#a#
和#o#p#x#p#o#
,长度都转换成了奇数。
定义一个辅助数组int p[]
,p[i]
表示以s_new[i]
为中心的最长回文的半径,例如:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
s_new[i] | $ | # | a | # | b | # | b | # | a | # | h | # | o | # | p | # | x | # | p | # | o | # |
p[i] | 1 | 2 | 1 | 4 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
可以看出,p[i]-1
正好是原字符串中最长回文串的长度。
Manacher算法之所以快,就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时,剩下的难点就是求 p 数组,按照普通思维,我们是这样求解的:求解p[i]
,先初始化p[i]=1
,再以s_new[i]
为中心判断两边是否相等,相等就p[i]++
。这就是普通的思维,但是我们想想,能否让p[i]
的初始化不是 1,让它更大点,看下图:
设置两个变量,mx 和 id 。
mx 代表以s_new[id]
为中心的最长回文最右边界,也就是mx=id+p[id]
。
假设我们现在求p[i]
,也就是以s_new[i]
为中心的最长回文半径,如果i<mx
,如上图,那么:
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
2 * id -i
其实就是等于 j ,p[j]
表示以s_new[j]
为中心的最长回文半径,见上图,因为 i 和 j 关于 id 对称,我们利用p[j]
来加快查找。
*/
时间复杂度:O(n)
应用:
求最长回文串长度
求原串以每个字符为中心的奇数长度回文串的长度
代码如下:
//S用来放原串,CS用来放新串
char S[maxn],CS[maxn<<1];
int P[maxn];
int Init(){
int len=strlen(S);
CS[0]='$';
CS[1]='#';
int cnt=2;
for(int i=0;i<len;i++){
CS[cnt++]=S[i];
CS[cnt++]='#';
}
CS[cnt]='\0';
return cnt;
}
int Manacher(){
int len=Init();
int ans=-1;
int id,mx=0;
for(int i=1;i<len;i++){
if(i<mx) P[i]=min(P[2*id-i],mx-i);
else P[i]=1;
while(CS[i-P[i]]==CS[i+P[i]]) P[i]++;
if(mx<i+P[i]){
id=i;
mx=i+P[i];
}
ans=max(ans,P[i]-1);
}
return ans;
}
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