Comet Contest#11 F arewell（DAG计数+FWT子集卷积）

传送门.

题解：

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4月YY集训时做过DAG计数，和这个基本上是一样的，但是当时好像直接暴力子集卷积，不然我省选时不至于不会，这个就多了个边不选的概率和子集卷积。

DAG计数是个套路来的，利用的是DAG中入度为0的点。

设\(f[S]\)表示只考虑s里的点的诱导子图形成DAG的方案数。

枚举一个\(T|S~\and~T=\empty\)，这个T就是新的图中度数为0的点，首先它们之间要没有边，然后\(T\)和\(S\)间的边要么没有，要么都由\(T->S\)，记\(cnt[S]\)表示S里的边数，这转移系数是：

\({1\over 3}^{g[T]}*{{2\over 3}^{g[S+T]}\over {2\over 3}^{g[S]+g{T}}}\)

注意这样会算重，因为会枚举到度数为0的点的子集，那么容斥系数\((-1)^{|T|+1}\)，考虑用\(\sum_{i=1}^{|T|}(-1)^{i+1}*C_{|T|}^i=1\)来证明。

直接卷积是\(O(3^n)\)，然后就上or FWT + 1的个数的老套路了，复杂度\(O(2^n*n^2)\)。

Code:

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

const ll w1 = ksm(3, mo - 2), w2 = 2 * ksm(3, mo - 2) % mo;
const ll nw1 = ksm(w1, mo - 2), nw2 = ksm(w2, mo - 2);

const int N = 21;

const int M = 1 << 20;
int n, m, x, y, a2[N];
int bz[N][N];
ll f[M], nf[M], g[M];
int cnt[M];

void dft(int *a, int n, int f) {
	for(int h = 1; h < n; h *= 2) for(int j = 0; j < n; j += 2 * h) ff(i, 0, h) {
		if(f == 1) a[i + j + h] = (a[i + j + h] + a[i + j]) % mo; else
			a[i + j + h] = (a[i + j + h] - a[i + j]) % mo;
	}
}

int a[21][M], b[21][M];

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	a2[0] = 1; fo(i, 1, n) a2[i] = a2[i - 1] * 2;
	fo(i, 1, m) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		x --; y --;
		bz[x][y] = 1;
	}
	ff(s, 1, a2[n]) cnt[s] = cnt[s - (s & -s)] + 1;
	ff(s, 0, a2[n]) {
		f[s] = g[s] = nf[s] = 1;
		if(s == 0) continue;
		int st;
		ff(i, 0, n) if(s >> i & 1) { st = i;}
		f[s] = f[s ^ (1 << st)];
		g[s] = g[s ^ (1 << st)];
		nf[s] = nf[s ^ (1 << st)];
		ff(i, 0, st) if(s >> i & 1) {
			if(bz[st][i]) f[s] = f[s] * w2 % mo, nf[s] = nf[s] * nw2 % mo, g[s] = g[s] * w1 % mo;
			if(bz[i][st]) f[s] = f[s] * w2 % mo, nf[s] = nf[s] * nw2 % mo, g[s] = g[s] * w1 % mo;
		}
	}
	fo(i, 1, n) {
		ff(j, 0, a2[n]) if(cnt[j] == i)
			b[i][j] = nf[j] * g[j] % mo * ((cnt[j] & 1) ? 1 : -1);
		dft(b[i], a2[n], 1);
	}
	a[0][0] = 1; dft(a[0], a2[n], 1);
	fo(w, 0, n) {
		fo(j, 1, n - w) {
			ff(i, 0, a2[n]) a[j + w][i] = ((ll) a[w][i] * b[j][i] + a[j + w][i]) % mo;
		}
	}
	dft(a[n], a2[n], -1);
	ll ans =  a[n][a2[n] - 1];
	ans = (ans % mo  + mo) * f[a2[n] - 1] % mo;
	pp("%lld\n", ans);
}