求方程x1+x2+x3=15的整数解的数目

求方程x1+x2+x3=15的整数解的数目
要求0≤x1≤5,0≤x2≤6,0≤x3≤7。
解:令N为全体非负整数解(x1,x2,x3),
A1为其中x1≥6的解；y1=x1-6≥0的解；
A2为其中x2≥7的解；y2=x2-7≥0的解；
A3为其中x3≥8的解。y3=x3-8≥0的解

A1的个数，相当于对（y1+6）+x2+x3=15求非负整数解的个数,
其为C(3+9-1,9)=C(11,2)

A2的个数，相当于对x1+(y2+7)+x3=15求非负整
数解的个数。C(3+8-1,8)=C(10,2)

A3的个数，相当于对x1+x2+(y3+8)=15求非负整
数解的个数。C(3+7-1,7)=C(9,2)

性质A1∩A2的个数，相当于对
（y1+6）+(y2+7)+x3=15求非负整数解的个数。
即求y1+y2+x3=2的非负整数解，其解的个数为

C(3+2-1,2)=C(4,2)
性质A1∩A3的解的个数，相当于对
(y1+6)+x2+(y3+8)=15求非负整数解的个数。
即求y1+x2+y3=1的非负整数解，其解的个数为
C(3+1-1,1)=C(3,1)

性质A2∩A3的个数，相当于对
x1+(y2+7)+(y3+8)=15求非负整数解的个数。
即求x1+y2+y3=0的非负整数解，其解的个数为
C(3+0-1,0)=C(2,0)

性质A1∩A2∩A3的个数，相当于对
(y1+6)+(y2+7)+(y3+8)=15求非负整数解的个数。
即求y1+y2+y3=-6的非负整数解，其解的个数0

B(0)=a(0)-a(1)+a(2)-a(3)
=C(17,2)-(c(11,2)+C(10,2)+C(9,2))+(c(4,2)+C(3,1)+C(2,0))-0
=10

试题可见:https://www.cnblogs.com/yuiffy/p/3909970.html

（CF451E Devu and Flowers （隔板法 容斥原理 Lucas定理 求逆元））

如果是求方程x1+x2+x3<=15的整数解的数目

则可认为有3+15个位置，然后将三个变量随便放，即有C(15+3,3)种解。

样关例题见:https://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3957

如果x1,x2,x3有一些限制的话，则根据上题的做法进行变换就好了。

相关例题:Bzoj3027 Sweet(当然这个题也可以用母函数的方法来求解，见下面这个Link)

https://www.cnblogs.com/cutemush/p/11988461.html

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2005
#define mod 2004
#define pii pair<int,int>
#define F first
#define S second
#define mp make_pair
#define LL long long
using namespace std;

int n,a,b,m[20],ans;

int C(int a,int b){
	if(a < b) return 0;
	LL fac = 1 , ret = 1;
	for(int i=1;i<=b;i++) fac *= i;
	LL Mod = fac * mod;
	for(int i=1;i<=b;i++)
		ret = 1ll * ret * (a-i+1) % Mod;
 	return ret / fac;
}

void dfs(int s,int ad,int xs)
//s代表选到哪个物品了，ad代表方程中需要减去的数字，xs代表系数
//根据广义容斥定理，为总体送去一个个的不满足条件，加上二个二个不满足条件，减去三个三个不满足条件的
//x1+x2+x3<=15的零或正整数解，即要求： x1≥0，x2≥0，x3≥0。
//C(3+15,15)=C(18,3)
{
	if(s == n+1)
	{
		ans = (ans + 1ll * xs * (C(b-ad+n,n) - C(a-1-ad+n,n))) % mod;
		return;
	}
	dfs(s+1,ad,xs);
	dfs(s+1,ad+m[s]+1,-xs); //注意 ad+m[s]+1这个系数
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&m[i]);
	dfs(1,0,1);
	printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}

　　

另一个程序，其实差不多，加了个求解过程

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 15
const int mod=2004;

int n,l,r,ans;
int a[maxn];

inline int read(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int C(int n,int m){
    if (n<m) return 0;
    long long p=mod,ret=1;
    for (int i=1;i<=m;i++) p*=i;
    for (int i=n-m+1;i<=n;i++) ret=ret*i%p;
    return ret/(p/mod)%mod;
}

void dfs(int x,int type,int sum,int pps){
    if (x>n){ans=(ans+type*C(n+pps-sum,n))%mod; return;}
    dfs(x+1,type,sum,pps),dfs(x+1,-type,sum+a[x],pps);
}

int solve(int n){ans=0,dfs(1,1,0,n); return (ans+mod)%mod;}

int main(){
    n=read(),l=read(),r=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()+1;
    int ans=(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
/*
input
2 4 7
2
3
output 

求解:
不受任何限制的解为
x+y<=7
解数为c(9,2)=36
加上限制1，即
x+y<=7，但是x>=3
则相当于方程x+y<=4,其方案数为C(6,2)=15
加上限制2，即
x+y<=7，但是y>=4
则相当于方程x+y<=3,其方案数为C(5,2)=10
如果两个限制都加上则
相当于方程x+y<=7-3-4=0,其方案数为1
于是方程
x+y<=7
0<=x<=2,0<=y<=3的解一共有36-15-10+1=12解 

用同样的方法求出
x+y<=3的解，其共有9种

于是对于解题共12-9=3
*/