Nowcoder Playing Games ( FWT 优化 DP && 博弈论 && 线性基)
题意 : 给出 N 个数、然后问你最多取出多少石子使得在 NIM 博弈中、后手必胜
分析 :
Nim 博弈模型,后手必胜当且仅当各个堆的石子的数目的异或和为 0
转化一下、变成最少取多少石子使得异或和为原来所有石子堆的异或和
和背包DP思想很类似、可以考虑 DP
dp[i][j] = 到第 i 个石子为止、使得异或和为 j 的最少取石子方案是多少
但是如果这样子去构造 dp 转移显然是 O(n^2) 的
如果你接触过 FWT 优化 DP 的题目的话、可能会想到如下的 DP 方程
dp[i][j] = 取 i 个石子、是否能异或出 j
dp[i][j] == 0 代表没有 j 这个值、 != 0 则反之
可能你会想为什么不直接用 bool 来作为 dp 类型
因为 bool 不能做乘法啊、为什么要做乘法啊?
因为要优化啊!可以考虑用 FWT 来优化这个 DP
dp[i][j] = ∑ dp[i-1][K] * stone[L] ( L ^ K = j )
注意这个 dp 的意义的第一维是石子个数、不是到第几个石子为止
Stone[i] == 1 表示初始石堆的状态有 i 这个值、等于 0 则反之
例如初始给出 1 2 4 这个石堆、则有
Stone[1] = Stone[2] = Stone[4] = 1、Stone[3] = 0
对于 FWT 做完后的 DP[i] == 0 代表没有 i 这个异或值、 != 0 代表有
当 DP[原始所有石堆的异或和] != 0 的时候就代表找到了、此时答案等于 ( n - 你迭代的次数 )
但是 DP 由于是做卷积、乘法相加会使得结果可能会很大造成溢出
所以每次做完 FWT 要将 DP 值和 1 取个 min
也就是用 1 来代表所有的非零状态、即存在这个数的状态
还有记得初始 DP[0] = 1
不过这个的第一维还是很大、此时你考虑二分
显然这个是满足二分性质的、如果是取最多的石子异或和为 0 则不满足二分
但是我们这里可以不考虑二分的做法
实际石子的个数并不会超过 19 个
因为 (1<<19) > 1e5(maxn)
为什么呢、因为根据线性基的理论
有 k 维度的线性基 (向量个数??) 最多只有 k 个
( 有没有大佬在评论具体解释一下为什么选不超过 19 个就行?)
( 我太弱了呀,看完线性基之后发现还是不太懂 ,只能强行解释?)
那么在此题中、找超过 19 个的话那么必定是有线性相关的组合
说实话、没以前没接触过线性基、所以对这个不是很了解
总之当结论用??
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define scl(i) scanf("%lld", &i) #define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j) #define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k) #define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l) #define scs(i) scanf("%s", i) #define sci(i) scanf("%d", &i) #define scd(i) scanf("%lf", &i) #define scIl(i) scanf("%I64d", &i) #define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j) #define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j) #define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j) #define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k) #define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k) #define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k) #define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l) #define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l) #define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l) #define lson l, m, rt<<1 #define rson m+1, r, rt<<1|1 #define lowbit(i) (i & (-i)) #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define fir first #define sec second #define VI vector<int> #define ins(i) insert(i) #define pb(i) push_back(i) #define pii pair<int, int> #define VL vector<long long> #define mk(i, j) make_pair(i, j) #define all(i) i.begin(), i.end() #define pll pair<long long, long long> #define _TIME 0 #define _INPUT 0 #define _OUTPUT 0 clock_t START, END; void __stTIME(); void __enTIME(); void __IOPUT(); using namespace std; ; void FWT(LL f[], int n, int op) { ; while((1LL<<mx) < n) mx++; ; i <= mx; ++i) { << i), len = m >> ; ; r < n; r += m) { int t1 = r, t2 = r + len; ; j < len; ++j, ++t1, ++t2) { LL x1 = f[t1], x2 = f[t2]; ) { //xor f[t1] = x1 + x2; f[t2] = x1 - x2; //if(f[t1] >= mod) f[t1] -= mod; //if(f[t2] < 0) f[t2] += mod; } ) { //and f[t1] = x1 + x2; f[t2] = x2; //if(f[t1] >= mod) f[t1] -= mod; } ) { //or f[t1] = x1; f[t2] = x2 + x1; //if(f[t2] >= mod) f[t2] -= mod; } } } } } void IFWT(LL f[], int n, int op) { ; while((1LL<<mx) < n) mx++; ; --i) { << i), len = m >> ; ; r < n; r += m) { int t1 = r, t2 = r + len; ; j < len; ++j, ++t1, ++t2) { LL x1 = f[t1], x2 = f[t2]; ) { //xor f[t1] = (x1 + x2) / ; f[t2] = (x1 - x2) / ; // f[t1] = (x1 + x2) * inv2; // f[t2] = (x1 - x2) * inv2; // if(f[t1] >= mod) f[t1] %= mod; // if(f[t2] >= mod) f[t2] %= mod; // if(f[t2] < 0) f[t2] = f[t2] % mod + mod; } ) { //and f[t1] = x1 - x2; f[t2] = x2; //if(f[t1] < 0) f[t1] += mod; } ) { //or f[t1] = x1; f[t2] = x2 - x1; //if(f[t2] < 0) f[t2] += mod; } } } } } LL arr[maxn], dp[maxn]; ; ; int main(void){__stTIME();__IOPUT(); int n; sci(n); ; i<n; i++){ int num; sci(num); arr[num]++; Len = max(Len, num); Tot_xor_Sum ^= num; } ; <<Bit) <= Len) Bit++; Len = (<<Bit); dp[] = 1LL; FWT(arr, Len, ); int ans = n; while(!dp[Tot_xor_Sum]){ ans--; FWT(dp, Len, ); ; i<Len; i++) dp[i] = (dp[i] * arr[i]);///其实就是不断做FWT、相当于 arr 数组的 n - ans 次幂 IFWT(dp, Len, ); ; i<Len; i++) dp[i] = min(dp[i], 1LL);///FWT后的DP值可能会溢出、所以取个min } printf("%d\n", ans); __enTIME();;} void __stTIME() { #if _TIME START = clock(); #endif } void __enTIME() { #if _TIME END = clock(); cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl; #endif } void __IOPUT() { #if _INPUT freopen("in.txt", "r", stdin); #endif #if _OUTPUT freopen("out.txt", "w", stdout); #endif }
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