NOIP 考前研究

NOIP 2017 试题研究

D1T1 小凯的疑惑 (45 min)

看到题面，大概是推数学公式。

先打暴力表，观察 \(a,b\) 与 \(n\) 的关系。猜想 \(a×b−a−b\)。

引理：对于正整数 \(p , q\) 满足 \(\gcd(p, q) = 1\), 使得 \(px + qy = n\) 无非负整数解的最大正整数 \(n\) 为 \(pq - p - q\).

使用反证法证明，即假设存在正整数 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(px + qy = pq - p - q\)，证明矛盾。期望得分 100 分。

没办法一眼望穿？观察到答案更接进于 \(a\times b\)，考虑从 \(a\times b\) 到 1 递推。期望得分 70 分。

D1T2 时间复杂度 (1 h)

一眼望穿，模拟 + 字符串 + 栈结构。

然后死在模拟的过程中……期望得分 0 分。

绝对不能没把整个题目推完就开始写。先在草稿纸上把所有要注意的点写出来，列出清单。

在草稿纸上列出模拟的所有标记变量的含义和作用。在草稿纸上写出大致代码层结构，标出特判和标记变量作用的位置。（其实代码大致就出来了。）

上机实现。期望得分 100 分。

此类题目（模拟 + 字符串）严重考察细心和耐心。如果你的思路清晰，代码严谨工整，就不会过不去样例……

D1T3 逛公园 (45 min)

DP + 拓扑序 + 最短路 or 搜索 (记忆化)

观察题目。啥都看不出来？先打暴力。

容易发现，Day 1 还没有考 DP。注意到 \(K\le 50\)，猜测这是一个与 \(k\) 有关的 DP。

特殊情况 1：当 \(K=0\) 时，最短路计数！

最短路计数：

Dijkstra 堆优化 或 SPFA（死了）。

定义一个新变量数组 cnt，cnt[S]=1。更新边长的时候如果大于号就覆盖（cnt[to[i]]=cnt[x]），相等的话（即有相同最短路径）就相加（cnt[to[i]]+=cnt[x]）。无边权即边权为 1。

注意模法。实现难度 [普及+/提高]。

期望得分 30 分。

特殊情况 2：然后考虑 没有 0 边 的情况。构造 DP 求解。写不出来……期望得分 30 分。

然后回过头检查 T1、T2 的代码。千万不要放空！放个 rand()%mod 也行啊……要爱惜分数。

D2T1 奶酪 (45 min)

观察到本题适合使用并查集。（NOIP 考点之一。）

距离要预处理。

实现难度 [普及/提高-]。期望得分 100 分。

D2T2 宝藏 (1 h 30 min)

状压 DP。思路难想！期望骗分 0 分。

写不出来状压 DP……显然要考虑部分分。DFS + 剪枝！暴搜算法的时间复杂度是 \(O(\)玄学\()\)。不要忘记低级算法的重要性，暴搜 AC 什么的大有人在。期望骗分 ?? 分。

贪心？如果想出来一个比较可行的局部最优解，带入 模拟退火算法 计算！期望骗分 0~100 分。（太玄了……）

D2T3 列队 (45 min)

标算是树状数组。想不到……想到了也不会写……

考虑部分分采用离散化思想。

对于 \(x_i=1\) 的情况，转化为：

对于一个序列，支持操作 (1) 删除第 \(k\) 个元素；(2) 在末尾添加一个元素。

尝试用树状数组实现。

维护一个 01 序列，第 \(i\) 位上是 0 表示这个位置上的数已经被删除了或者还没有被插入，第 \(i\) 位上是 1 表示这一位上的数没有被删除。

那么删除操作就是 1 → 0，插入操作就是 0 → 1。第 \(k\) 个元素就是前缀和为 \(k\) 的位置。树状数组二分。

– PinkRabbit

其他就完全不会了。期望得分 30 分。（模拟得分）

总结

乐观估计为 360+?? 分。可见去年的难度还是很高的。如果暴搜写得给力能拿 400 分，如果字符串模拟炸了，那就省一无望了。（毕竟去年 FJ 省一线 300 分。复旦自招线 360 分……）

如何发挥超常正常？首先该拿的分数坚决不能丢掉。字符串模拟、暴搜剪枝，还有最短路和并查集的板子，一定要写出来。DP 能推的尽量推，部分分能骗的尽量骗……

明明所有考点都是 NOIP 范围内的，明明我也会 DAG 上 DP、状压 DP、树状数组……可见还是学艺不精，有待提高。

括号中标记的是完成核心代码的理论时间。实际上，一旦陷入 bug 的泥潭就很难出去了……

祝 NOIP 2018 RP \(\rightarrow\infty\)！

NOIP2016 试题研究

D1T1 玩具谜题 (30 min)

超级水的 模拟。期望得分 100 分。送分题分数绝对不能丢！……

D1T2 天天爱跑步 (1 h)

部分分骗一骗。直接暴力拿 25 分，其余点特判骗分。

正解 LCA + 桶 + 差分。不会写……基本的 LCA 要复习一下。

D1T3 换教室 (1 h 30 min)

DP。\(dp(i,j,0/1)\) 表示走完前 \(i\) 个教室, 换了 \(j\) 次，对于第 \(j\) 次选择换 \((0)\) 与不换 \((1)\) 的最优方案。然后就是推公式的过程。绝对可以推很久。期望得分 0~100 分。（想太多）

D2T1 组合数问题 (45 min)

给定 \(n,m\) 和 \(k\)，对于所有的 \(0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min\left(i, m \right)\) 有多少对 \((i,j)\) 满足 \(C_i^j\) 是 \(k\) 的倍数。对于 100% 的数据，\(n,m\le 2000, k\le 21\), 数据组数 \(T\le 10^4\)。

先打表 \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\) （杨辉三角），特别地，\(C_n^0=C_n^n=1\). 发现速度捉急，怎么办？

二维前缀和 \(sum(n,m)=sum(n-1,m)+sum(n,m-1)-sum(n-1,m-1)\).

然后 DP 统计答案。期望得分 100 分。

D2T2 蚯蚓 (1 h)

蛐蛐国里现在共有 \(n\) 只蚯蚓（\(n\) 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 \(i\) 只蚯蚓的长度为 \(a_i\) (\(i=1,2,\dots,n\))，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 \(0\) 的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 \(p\)（是满足 \(0 < p < 1\) 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 \(x\)，神刀手会将其切成两只长度分别为 \(\lfloor px \rfloor\) 和 \(x - \lfloor px \rfloor\) 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 \(0\)，则这个长度为 \(0\) 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 \(q\)（是一个非负整常数）。

蛐蛐国王希望知道 \(m\) 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

• \(m\) 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 \(m\) 个数）；
• \(m\) 秒后，所有蚯蚓的长度（有 \(n + m\) 个数）。

第一行输出 \(\displaystyle\left\lfloor \frac{m}{t} \right\rfloor\) 个整数，按时间顺序，依次输出第 \(t\) 秒，第 \(2t\) 秒，第 \(3t\) 秒，…… 被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出 \(\displaystyle\left\lfloor \frac{n+m}{t} \right\rfloor\)个整数，输出 \(m\) 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 \(t\)，第 \(2t\)，第 \(3t\)，…… 的长度。

\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(0 \leq m \leq 7 \times 10^6\)，\(0 < u < v \leq 10^9\)，\(0 \leq q \leq 200\)，\(1 \leq t \leq 71\)，\(0 \leq a_i \leq 10^8\)。

直接用堆（或 STL 优先队列）记录每次切的蚯蚓。期望得分 80 分。

如果观察到本题隐含的单调性，即先被切掉的蚯蚓分成的蚯蚓一定比后切掉的蚯蚓分成的蚯蚓大，则根本不需要堆来维护：由一个堆变成三个队列。（详见 Link ）

思维量相当大，100 分看来是难了……

D2T3 愤怒的小鸟 (1 h)

本题 \(1\le n≤18\)：暴搜 or 状压 DP。

暴搜骗大量部分分！

状压 DP：\(f(i\mid line(j,k))=\min\{f(i\mid line(j,k)),f(i)+1\}\). 真的想出来就可以 100 分了。

总结

NOIP 2016 看上去真的挺难！考试内容都是比较高级的算法，又有较高的思维难度。如果 NOIP 2018 也这样考，千万不能灰心啊……注意到题目都给出了极好看的部分分，至少把部分分拿走，再绞尽脑汁想正解。