【学习笔记】圆方树（CF487E Tourists）

终于学了圆方树啦~\(≧▽≦)/~

感谢y_immortal学长的博客和帮助把他的博客挂在这里~ 点我传送到巨佬的博客QwQ！

首先我们来介绍一下圆方树能干什么呢qwq

1.将图上问题简化到树上问题

2.一般是路径并

3.资磁修改！

然后我们就可以步入正题来学习圆方树啦~

——超良心圆方树教程！——

这里是一个前缀芝士清单！

1.Tarjan求点双连通分量

2.树链剖分

如果你大体知道这两个东西在干什么那你看接下来的教程就会非常熟练【大雾

一。圆方树的构造

原图中的点称为原点新建的点称为方点

对于一个无向图，我们取它所有的极大点双连通分量，把这些点之间的边全部删掉，然后新建一个点与分量中的点连边。

是不是很云里雾里不着急我们来画个图【其实是我偷的猫锟的图T^T】

橙色的就是原图圆点蓝色的就是新建的方点

我们发现原图中的圆点点双代表的路径全部都可以被方点表示啦！

也就是说两个点x,y之间的路径并全部都可以被圆点方点表示呢qwq

圆方树可不止这一个性质呢

1.任意两个圆点不会相邻，任意两个方点也不会相邻

2.对于两个方点之间的圆点，是两个点双的公共点，即割点

3.对于两个点x,y,它们的树上简单路径上的圆点都是割点（必经点），路径也是原图x,y之间的路径并

这个过程有一个小细节要注意，就是一个圆点可能会出现在多个点双里，所以在tarjan弹栈的时候不能把当前节点弹出来的qwq

圆方树就讲完啦~ 是不是很简单！接下来就可以刚题啦/xyx

————一道例题————

CF487E Tourists

没想到4年前就已经有圆方树了呢qwq

题意：给定一张无向图，求两点之间路径最小值的最小值，带修。

两点之间路径并！圆方树！

对于这个题，我们可以轻松地建出模型。

对原图建立圆方树，查询树上两个点之间的路径最小值。

每个方点维护它所连接的所有圆点的权值。

但是问题来了，如果出现菊花图，一个圆点的修改可能会影响到O(n)级别的方点

然后就萎啦QAQ

我们对这个东西进行优化对于一个方点我们可以开一个multiset维护它第一层儿子的权值，然后每次修改一个圆点，只会影响到一个方点，这样的话时间复杂度是O(nlg^2n)可以接受的。

然后你就写呀写。交上去。WA了！！！你正准备喷笔者。不要着急好不好！我们还有一个小问题没处理呢。

我们发现原先一个方点维护的是它连接的所有圆点，但是我们现在维护的是它的儿子的权值。这之间是不是有一点小出入呢。

没错，当x，y的lca为一个方点时，我们少维护了一个点，就是方点上方的圆点，这个圆点也是属于这个点双的，也是可以被经过的，所以，你只需要加一个小细节，对于LCA时方点的，答案还需要和方点上方的圆点取最小值。

这样就做完啦~

码量还好呢qwq

放代码啦。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<set>
#define inf 2002122500
#define ll long long
#define mxn 100010
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
struct edge{int to,lt;}e[mxn<<2],p[mxn<<1];
int in[mxn<<1],ip[mxn],cnt,cnp,v[mxn<<1],n,m;
int dfn[mxn<<1],low[mxn<<1],tot,dep[mxn<<1];
int son[mxn<<1],sz[mxn<<1],top[mxn<<1],fa[mxn<<1],xl[mxn<<1];
int num;stack<int> st;
multiset<int> sq[mxn];
struct SegTree
{
	int mn[mxn<<4];
	void pushup(int x){mn[x]=min(mn[ls],mn[rs]);}
	void build(int x,int l,int r)
	{
		if(l==r){mn[x]=v[xl[l]];return;}
		int mid=l+r>>1;
		build(ls,l,mid);
		build(rs,mid+1,r);
		pushup(x);
	}
	void modify(int x,int l,int r,int d,int val)
	{
		if(l==r){mn[x]=val;return;}
		int mid=l+r>>1;
		if(d<=mid)	modify(ls,l,mid,d,val);
		else	modify(rs,mid+1,r,d,val);
		pushup(x);
	}
	int query(int x,int l,int r,int LL,int RR)
	{
		if(l>=LL&&RR>=r)	return mn[x];
		int mid=l+r>>1,ans=inf;
		if(LL<=mid)	ans=min(ans,query(ls,l,mid,LL,RR));
		if(RR>mid)	ans=min(ans,query(rs,mid+1,r,LL,RR));
		return ans;
	}
}T;
void app(int x,int y)
{
	p[++cnp].to=y;p[cnp].lt=ip[x];ip[x]=cnp;
	p[++cnp].to=x;p[cnp].lt=ip[y];ip[y]=cnp;
}
void add(int x,int y)
{
	e[++cnt].to=y;e[cnt].lt=in[x];in[x]=cnt;
	e[++cnt].to=x;e[cnt].lt=in[y];in[y]=cnt;
}
void tarjan(int x,int ff)
{
	dfn[x]=low[x]=++tot;st.push(x);
	for(int i=ip[x];i;i=p[i].lt)
	{
		int y=p[i].to;if(y==ff)	continue;
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y,x);
			low[x]=min(low[y],low[x]);
			if(low[y]>=dfn[x])
			{
				int cur;++num;
				add(num,x);
				do
				{
					cur=st.top();st.pop();
					add(num,cur);
				}while(cur!=y);
			}
		}
		else	low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
void dfs(int x)
{
	sz[x]=1;
	for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
	{
		int y=e[i].to;if(y==fa[x])	continue;
		dep[y]=dep[x]+1;fa[y]=x;dfs(y);sz[x]+=sz[y];
		if(sz[y]>sz[son[x]])	son[x]=y;
		if(x>n)	sq[x-n].insert(v[y]);
	}
	if(x>n)	v[x]=*sq[x-n].begin();
}
void dfs2(int x,int tt)
{
	top[x]=tt;dfn[x]=++tot;xl[tot]=x;
	if(!son[x])	return;
	dfs2(son[x],tt);
	for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(y==fa[x]||y==son[x])	continue;
		dfs2(y,y);
	}
}
int ask(int x,int y)
{
	int ans=inf;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[y]]>dep[top[x]])	swap(x,y);
		ans=min(ans,T.query(1,1,num,dfn[top[x]],dfn[x]));
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])	swap(x,y);
	//printf("QWQ");
	//printf("%d %d %d %d\n",x,y,dfn[x],dfn[y]);
	ans=min(ans,T.query(1,1,num,dfn[x],dfn[y]));
	if(x>n)	ans=min(ans,v[fa[x]]);
	return ans;
}
void change(int x,int val)
{
	if(fa[x])	sq[fa[x]-n].erase(v[x]),sq[fa[x]-n].insert(val),v[fa[x]]=*sq[fa[x]-n].begin();
	v[x]=val;T.modify(1,1,num,dfn[x],v[x]);
	if(fa[x])	T.modify(1,1,num,dfn[fa[x]],v[fa[x]]);
}
int main()
{
	int x,y,q;char ch[5];
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);num=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&v[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		app(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i])	tarjan(i,i);
	tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dep[i])	dep[i]=1,dfs(i),dfs2(i,i);
	T.build(1,1,num);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
		if(ch[0]=='C')	change(x,y);
		else printf("%d\n",ask(x,y));
	}
	return 0;
}

完结撒花ヾ(o◕∀◕)ﾉヾ