题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)

  此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据。 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额。。。

思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=sum(2)+sum(3)+...+sum(n)
      只需求出sum(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。
      接下来重点就是求sum(n):
      注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数,
      则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
      (额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。
      由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。

  1. #include <iostream>
  2. #include <stdio.h>
  3. #include <string.h>
  4. /*
  5. 数论题
  6.  
  7. 题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)
  8.  
  9. 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=f(2)+f(3)+...+f(n)
  10. 只需求出f(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。
  11. 接下来重点就是求sum(n):
  12. 注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数,
  13. 则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
  14. (额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。
  15. 由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。
  16. */
  17. using namespace std;
  18. const int maxn=;
  19. int phi[maxn];
  20. long long sum[maxn];
  21. long long ans[maxn];
  22. void init(){
  23. memset(phi,,sizeof(phi));
  24. memset(sum,,sizeof(sum));
  25. memset(ans,,sizeof(ans));
  26. phi[]=;
  27. for(int i=;i<maxn;i++){
  28. if(!phi[i]){
  29. for(int j=i;j<maxn;j+=i){
  30. if(!phi[j])
  31. phi[j]=j;
  32. phi[j]=phi[j]/i*(i-);
  33. }
  34. }
  35. }
  36. long long i,j;
  37. for(i=;i<maxn;i++){
  38. for(j=;i*j<maxn;j++){
  39. /*
  40. //原来第二次循环j是从1~maxn,循环中加个if条件,预处理都运行很慢很慢,超时
  41. if(i*j>=maxn)
  42. continue;
  43. */
  44. sum[i*j]+=phi[i]*j; //n=i*j,j为n和x的公约数,类似于素数筛选法
  45. }
  46. }
  47. /*
  48. //白书上的代码
  49.  
  50. for(int i=1;i<maxn;i++){
  51. for(int n=i*2;n<maxn;n+=i)
  52. sum[n]+=i*phi[n/i];
  53. }
  54. */
  55. ans[]=sum[];
  56. for(int i=;i<maxn;i++){
  57. ans[i]=ans[i-]+sum[i]; //怎么都忘记可以利用前一项的结果啊!!!
  58. }
  59. }
  60. int main()
  61. {
  62. init();
  63. int n;
  64. long long result;
  65. while(scanf("%d",&n),n){
  66. printf("%lld\n",ans[n]); //UVA上,注意是lld
  67.  
  68. }
  69. return ;
  70. }

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