UVA 11424 GCD - Extreme (I) (欧拉函数+筛法)
题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)
此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据。 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额。。。
思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=sum(2)+sum(3)+...+sum(n)
只需求出sum(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。
接下来重点就是求sum(n):
注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数,
则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
(额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。
由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。
- #include <iostream>
- #include <stdio.h>
- #include <string.h>
- /*
- 数论题
- 题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)
- 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=f(2)+f(3)+...+f(n)
- 只需求出f(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。
- 接下来重点就是求sum(n):
- 注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数,
- 则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
- (额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。
- 由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。
- */
- using namespace std;
- const int maxn=;
- int phi[maxn];
- long long sum[maxn];
- long long ans[maxn];
- void init(){
- memset(phi,,sizeof(phi));
- memset(sum,,sizeof(sum));
- memset(ans,,sizeof(ans));
- phi[]=;
- for(int i=;i<maxn;i++){
- if(!phi[i]){
- for(int j=i;j<maxn;j+=i){
- if(!phi[j])
- phi[j]=j;
- phi[j]=phi[j]/i*(i-);
- }
- }
- }
- long long i,j;
- for(i=;i<maxn;i++){
- for(j=;i*j<maxn;j++){
- /*
- //原来第二次循环j是从1~maxn,循环中加个if条件,预处理都运行很慢很慢,超时
- if(i*j>=maxn)
- continue;
- */
- sum[i*j]+=phi[i]*j; //n=i*j,j为n和x的公约数,类似于素数筛选法
- }
- }
- /*
- //白书上的代码
- for(int i=1;i<maxn;i++){
- for(int n=i*2;n<maxn;n+=i)
- sum[n]+=i*phi[n/i];
- }
- */
- ans[]=sum[];
- for(int i=;i<maxn;i++){
- ans[i]=ans[i-]+sum[i]; //怎么都忘记可以利用前一项的结果啊!!!
- }
- }
- int main()
- {
- init();
- int n;
- long long result;
- while(scanf("%d",&n),n){
- printf("%lld\n",ans[n]); //UVA上,注意是lld
- }
- return ;
- }
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