UVA 11424 GCD - Extreme (I) (欧拉函数+筛法)

题目：给出n，求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)

　　此题和UVA 11426 一样，不过n的范围只有20000，但是最多有20000组数据。 当初我直接照搬UVA11426，结果超时，因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005，但最多只有100组数据)，该题数据太多了额。。。

思路：令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)，则所求结果ans(n)=sum(2)+sum(3)+...+sum(n)
      只需求出sum(n)，就可以推出所有答案：ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢，额。。。)。
      接下来重点就是求sum(n)：
      注意到所有gcd(x,n)都是n的约数，可以按照这个约数进行分类，用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数，
      则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
      (额，我是看到书上的这个提示，才想到怎么做的。。。)，因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数)，说明g(n,i)=phi(n/i)。
      由于时间限制，同素数筛选法，我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n)，这些都在预处理中完成。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
/*
数论题

题目：给出n，求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)

思路：令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)，则所求结果ans(n)=f(2)+f(3)+...+f(n)
      只需求出f(n)，就可以推出所有答案：ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢，额。。。)。
      接下来重点就是求sum(n)：
      注意到所有gcd(x,n)都是n的约数，可以按照这个约数进行分类，用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数，
      则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
      (额，我是看到书上的这个提示，才想到怎么做的。。。)，因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数)，说明g(n,i)=phi(n/i)。
      由于时间限制，同素数筛选法，我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n)，这些都在预处理中完成。
*/
using namespace std;
const int maxn=;
int phi[maxn];
long long sum[maxn];
long long ans[maxn];
void init(){
    memset(phi,,sizeof(phi));
    memset(sum,,sizeof(sum));
    memset(ans,,sizeof(ans));
    phi[]=;
    for(int i=;i<maxn;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<maxn;j+=i){
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-);
            }
        }
    }
    long long i,j;
    for(i=;i<maxn;i++){
        for(j=;i*j<maxn;j++){
            /*
            //原来第二次循环j是从1~maxn，循环中加个if条件，预处理都运行很慢很慢，超时
            if(i*j>=maxn)
                continue;
            */
            sum[i*j]+=phi[i]*j;  //n=i*j，j为n和x的公约数，类似于素数筛选法
        }
    }
    /*
    //白书上的代码

    for(int i=1;i<maxn;i++){
        for(int n=i*2;n<maxn;n+=i)
            sum[n]+=i*phi[n/i];
    }
    */
    ans[]=sum[];
    for(int i=;i<maxn;i++){
        ans[i]=ans[i-]+sum[i];  //怎么都忘记可以利用前一项的结果啊！！！
    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    long long result;
    while(scanf("%d",&n),n){
        printf("%lld\n",ans[n]);  //UVA上，注意是lld

    }
    return ;
}