UVA 11478 Halum（用bellman-ford解差分约束）

对于一个有向带权图，进行一种操作（v,d），对以点v为终点的边的权值-d，对以点v为起点的边的权值+d。现在给出一个有向带权图，为能否经过一系列的（v,d）操作使图上的每一条边的权值为正，若能，求最小边权的最大值。

不得不说，图论与动态规划的产物实在是神奇！！

1、既然是“最小值最大”问题，容易想到二分答案。

2、抽象出数学模型。这个在《训练指南》里写得已经很详细，鄙人还是以自己的理解表达一下。

　　这里有两处特别值得学习的地方。一、叠加：假设每个点都对应着一个（v,d）操作，那么对于边u->v来说，受到两个端点的影响，最终的权值为（c+du-dv）。二、抽象：这个没学过差分约束真心想不到。之前想到了二分答案，那么我们假设最终的“最小值最大”为x，那么所有边满足（c+du-dv）>=x，变形后(dv-du)<=(c-x)。由于是第一次做这种类型的题，无法妄下结论，但书上所说到的“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”，很明显，我们常用的的不等式是d[v]>=d[u]+w(u,v)。所以，这里先记住这个模型：形如xj-xi

<=b，建边i->j，边权为b。（提出疑问：若得到的模型为xi-xj>=b，变形后xj-xi<=-b => 建边i->j，边权为-b）。

　　至于书上说的"加源点s"，完全不知为何物= =。不过不妨碍我们做题。由于采用二分答案，边权c是变值，处理方式很直白的把所有的边-x，判完负环再做+x就好了。

　　为何判负环就可行呢？我们通过二分答案，改变b的值，每次都得到了一个的形如xj-xi<=b的不等式组，当不等式组不成立即说明当前二分的值不成立。举个例子：有个环1->2,2->3,3->1，对应的不等式x2-x1<=ca,x3-x2<=cb,x1-x3<=cc，若这是个负环，说明等式右侧（ca+cb+cc）<0，而等式左侧=0，为恒不等式。所以一旦存在负环，不等式组不成立，差分约束系统无解。

注意：

1、先做完特判，再处理其他数据，这点是通用的。（我一开始把判“No Solution”放在二分后面了，TLE。当然现在也不过是飘过时限= =）

　　判“Inf”，无环，就不会在同一个圈中两两影响。判“No”要用1而不能是0，因为最后求得是正数。

2、二分写得时候要注意，要绝对防止 l,r 在相邻两个数之间不变。e.g：第三组样例，l=3,r=4,x作为中间值，当x==3，成立=>l=x;当x==4,不成立=>r=x。死循环了（偶真是弱爆了，明明很简单的问题还要想半天）

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 #define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 using namespace std;

 const int MAXN=;
 const int INF =1e8;

 struct Edge{
     int u,v,c;
 };

 int inq[MAXN],cnt[MAXN],d[MAXN];
 vector<Edge>edge;
 vector<int>G[MAXN];

 void init(int n)
 {
     edge.clear();
     rep(i,,n)
         G[i].clear();
 }

 void add(int u,int v,int c)
 {
     edge.push_back((Edge){u,v,c});
     int m=edge.size();
     G[u].push_back(m-);
 }

 double build(int m)
 {
     int u,v;
     int c,up=;
     rep(i,,m){
         scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
         up=max(up,c);
         add(u,v,c);
     }
     return up;
 }

 bool BF(int st,int n)
 {
     clr(inq,);
     clr(cnt,);
     queue<int>q;
     rep(i,,n){
         if(i==st)d[i]=;
         else d[i]=INF;
         q.push(i);
     }
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         inq[u]=false;
         int sz=G[u].size();
         rep(i,,sz-){
             Edge e=edge[G[u][i]];
             if(d[e.v]>d[u]+e.c){
                 d[e.v]=d[u]+e.c;
                 if(!inq[e.v]){
                     q.push(e.v);
                     inq[e.v]=true;
                     if(++cnt[e.v]>n)
                         return true;
                 }
             }
         }
     }
     return false;
 }

 bool test(int n,int m,int x)
 {
     rep(i,,m-)
         edge[i].c-=x;
     bool flog=BF(,n);
     rep(i,,m-)
         edge[i].c+=x;
     return flog;
 }

 int main()
 {
     int T,n,m;
     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
     {
         init(n);
         int up=build(m);

         if(!test(n,m,up+))
             printf("Infinite\n");
         else if(test(n,m,))
             printf("No Solution\n");
         else{
             int  l=,r=up;
             while(l<r)
             {
                 int x=l+(r-l+)/;
                 if(test(n,m,x))
                     r=x-;
                 else
                     l=x;
             }
             printf("%d\n",l);
         }
     }
     return ;
 }

后记：

1、书上所说“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”指的是最短路的关系式，而不是松弛操作。表示从起点s->v的最短路恒<=s->u的最短路+w(u,v)。

2、根据不等式的变形，的确可以自由选择使用最长路还是最短路求解，但两种方法所得的答案不同，具体解释http://www.cnblogs.com/zstu-abc/p/3277305.html