【bzoj1010】[HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化dp

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出

输出最小费用

样例输入

5 4
3
4
2
1
4

样例输出

1

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题解

斜率优化dp

设f[i]为第i个物品为某容器末尾时前i个物品的最小总代价，

那么就有f[i]=f[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l)^2

=f[j]+(t[i]-t[j]-l')^2

其中t[i]为前缀和sum[i]与i的和，l'为l+1（代码中直接将l++），目的是方便下一步推导与计算。

展开平方并整理可得f[j]+(t[j]+l')^2=2*t[i]*t[j]+(f[i]+2*t[i]*l'-t[i]^2)。

这是y=kx+b的形式，并且要求的是b的最大值，于是维护一个下凸包即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define y(i) (f[i] + (t[i] + l) * (t[i] + l))
#define x(i) t[i]
using namespace std;
int q[50010] , head , tail;
long long f[50010] , t[50010];
int main()
{
	int n , i;
	long long l , a;
	scanf("%d%lld" , &n , &l);
	l ++ ;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		scanf("%lld" , &a) , t[i] = t[i - 1] + a + 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		while(head < tail && y(q[head + 1]) - y(q[head]) <= ((x(q[head + 1]) - x(q[head]))) * 2 * t[i]) head ++ ;
		f[i] = f[q[head]] + (t[i] - t[q[head]] - l) * (t[i] - t[q[head]] - l);
		while(head < tail && (y(i) - y(q[tail])) * (x(q[tail]) - x(q[tail - 1])) < (x(i) - x(q[tail])) * (y(q[tail]) - y(q[tail - 1]))) tail -- ;
		q[++tail] = i;
	}
	printf("%lld\n" , f[n]);
	return 0;
}