参考资料:《信号与系统(第二版)》 杨晓非 何丰

连续信号的是卷积积分,离散信号的是卷积和。

脉冲分量

任意非周期信号,将横坐标分为若干个微小等分,得到Δτ为宽,f(kΔτ)为高的一系列微小矩形,每一个微小矩形都是f(kΔτ)为高的门限函数fk(t)=f(kΔτ)gΔτ(t-kΔτ),Δτ越小,误差越小。当Δτ→0时,有Δτ→dτ,kΔτ→τ(这里的k趋近于无穷),由此等式的极限精确地等于原函数。

因此该积分式定义为任意信号f(t)与单位冲激信号δ(t)卷积积分:

任意离散信号的分解

任意离散信号f(k)(k=0,-1,1,-2,2...)可以表示为单位序列和的形式,即:

卷积积分

  • 图解法(求解直观,但是过程繁琐)

  (1)变量替换:将自变量由t变换成τ,得到f(τ),h(τ).

  (2)反折:画出h(τ)相对于纵轴的反折,得到h(-τ)

  (3)移位:把h(-τ)沿τ轴移动t位,得到h(t-τ)

  (4)相乘:将移位后的h(t-τ)与f(t)相乘,固定f(t),向右移动h(t-τ)

  (5)积分:h(t-τ)与f(t)重叠部分与τ轴围成的面积为t时刻的卷积值

  • 函数式计算法

  该方法计算方便,关键是给出积分的上下限。

  (1)变量替换:将自变量由t变换成τ,得到f(τ),h(τ).

  (2)分别求出f(τ),h(τ)不为0的取值范围,取其交集,得出积分上下限,进行积分计算

  (3)如果带有阶跃函数等奇异函数时,不能直接丢掉,其中宗量等于积分上限减去积分下限。

在本例题中ε(t)和ε(t-π/2)相加时,需要取ε(t-π/2)。

卷积和

当对离散信号作卷积计算时,涉及到的是卷积和。

  • 图解法
  • 数值法
  • 不进位乘法
  • 函数式计算法

  函数式计算卷积和的方法通常涉及到等比级数和等差级数。

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