【数据结构】FHQ Treap详解

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FHQ Treap 是什么？

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`FHQ Treap`，又名`无旋Treap`，是一种不需要旋转的平衡树，是**范浩强**基于`Treap`发明的。`FHQ Treap`具有代码短，易理解，速度快的优点。（当然跟红黑树等更高级的平衡树比一下就是……）至少它在`OI`中算是很优秀的数据结构了。

前置知识：

• C++
• 二叉搜索树的基本性质，下面会讲
• 二叉堆

二叉搜索树的基本性质

很简单，就这几个。

• 在二叉搜索树中，每个结点都满足左子树的结点的值都小于等于自己的值，右子树的结点的值都大于自己的值，左右子树也是二叉搜索树。
• 中序遍历二叉搜索树可以得到一个由这棵树的所有结点的值组成的有序序列。（即所有的值排序后的结果）

原理&代码实现

本文中，Treap就是指有旋Treap。

FHQ Treap不是通过旋转来保持平衡的，而是通过两个函数split和merge。顾名思义，split就是分裂，merge就是合并。当然，从最底层的原理来看，还不是这两个函数。FHQ Treap中的Treap代表Tree + Heap，也就是说，FHQ Treap会按二叉搜索树一样根据键值排序结点，并且随机赋给每个结点一个优先级，按照二叉堆的顺序排序结点（这里用大根堆）。Treap通过旋转，使平衡树同时满足这两个性质，从而达到平衡。而FHQ Treap通过调用merge函数时使平衡树满足堆序，实现原理与Treap不同。

结点信息

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`FHQ Treap`是一个二叉树，所以可以写出这样的代码：

template <typename T, int MaxSize>
class FHQTreap
{
public:
	FHQTreap() { Seed = (int)(MaxSize * 565463ll % 2147483647); }
    // ...
private:
	struct Node
    {
        T Key;
        int Left, Right, Size, Priority;
    } Tree[MaxSize];
    int Seed, Total, Root;

    int random() { return Seed = (int)(Seed * 104831ll % 0x7fffffff); }

    void pushup(int root) {
        if (root != 0) {
            Tree[root].Size = Tree[Tree[root].Left].Size + Tree[Tree[root].Right].Size + 1; // + 1是要算上自己
        }
    }
    // ...
}

Node即结点，里面的Key就是要存的值，Priority即优先级。Seed就是随机数种子，在构造函数中初始化，random()会生成一个在int范围内的整数，作为结点的优先级。（我自己写随机数生成函数只是个人习惯）

构造新结点

int create(T key) {
    int root = ++Total;
    Tree[root].Key = key;
    Tree[root].Size = 1;
    Tree[root].Left = Tree[root].Right = 0;
    Tree[root].Priority = rad();
    return root;
}

create(T key)会初始化一个结点，并返回它的ID，大家也可以用指针实现。这里比较简单，就不多解释了。

split函数

split分为两种：

• 按值分裂：根据一个值\(key\)把一棵树分裂成两棵树，一棵树的值全部小于等于\(key\)，另外一棵全部大于\(key\)
• 按大小分裂：根据一个值\(size\)分裂树，一棵的大小为\(size\)，另外一棵为剩下的。

按值分裂

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如上图。这里split函数简化了，只写了值。根据图可以看出，比\(25\)小的结点都被分裂到以\(x\)为根的树上，比\(25\)大的结点被分到了\(y\)树上。

那我们该怎么写呢？如果我们到了一个结点\(root\)，假设\(X,Y\)是分裂后的两棵树，且满足\(\forall i \in X,j \in Y ,\exists Key_{i} < Key_{j}\)，要是\(Key_{root} \leq key\)，那它就应该被放到\(X\)树上，否则它应该被放到\(Y\)树上。如果它被放到了\(X\)树上，我们还要再检查一下是否有结点\(z\)，满足\(Key_{root} \leq Key_{z} \leq key\)，如果有，也要插入\(X\)树，具体的操作就是把\(z\)挂到\(root\)的右子树上，这可以通过继续递归调用split函数实现。如果满足\(Key_{root} > key\)，就做一次相反的过程。

void split(int root, int key, int &x, int &y) { // x, y即分裂出的两个树
    if (root == 0) {
        x = y = 0;
        return;
    }
    if (!(key < Tree[root].Key)) { // 等价于 Tree[root].Key <= key
        x = root; // 把root设为x树的根（当前）
        split(Tree[root].Right, key, Tree[root].Right, y); // 找更大的结点
    } else {
        y = root; // 相反过程
        split(Tree[root].Left, key, x, Tree[root].Left);
    }
    pushup(root); // 记得更新大小
}

按大小分裂

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与按值分裂类似，把值换成大小，注意递归右子树时要把$size$减去$Size_{Left_{x}}+1$，这也是显然的。

void split(int root, int sze, int &x, int &y) {
	if (root == 0) {
		x = y = 0;
		return;
	}
	if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 <= sze) {
		x = root;
		split(Tree[root].Right, sze - Tree[Tree[root].Left].sze - 1, Tree[root].Right, y);
	} else {
		y = root;
		split(Tree[root].Left, sze, x, Tree[root].Left);
	}
	pushup(root);
}

merge函数

我比较懒，把上面那个图复制粘贴了一下。

假设\(X,Y\)是需要合并的两棵树，且满足\(\forall i \in X,j \in Y ,\exists Key_{i} < Key_{j}\)，\(x\)为\(X\)根节点，\(y\)为\(Y\)根节点。所以，在合并的时候，我们只要按照优先级，看一下是把\(x\)放在上还是把\(y\)放在上。以下是\(x,y\)在不同的优先级关系下的树的结构：

如果我们已经确定好了\(x,y\)这两个点的结构，那就直接拿那个被替换的子树与在下面的结点去merge。说起来比较抽象，我们就用上面那个图的左边那种情况作为例子（这个图是只考虑\(x,y\)两个结点的，并没有算上它们的子树）。\(x\)的优先级比\(y\)的优先级大（按照大根堆），那么\(x\)就在上，\(y\)在下。那么有要满足二叉搜索树的性质，\(y\)的值比\(x\)大，则\(y\)在右边，即在\(x\)的右子树。如果在考虑\(x,y\)两个结点都子树的情况，\(x\)的左子树不动，把\(y\)和\(x\)的右子树合并的结果作为\(x\)新的右子树。另外一种情况同理。

int merge(int x, int y) {
    if (x == 0 || y == 0)
        return x + y;
    /*
    如果其中一个结点为空，即只剩另下一棵树需要处理，就直接返回
    因为空结点的ID为0，所以直接返回 x + y 即可。 如果两棵树都为空，这样也是没有问题的。
    */
    if (Tree[x].Priority > Tree[y].Priority) {
        Tree[x].Right = merge(Tree[x].Right, y);
        pushup(x);
        return x;
    } else {
        Tree[y].Left = merge(x, Tree[y].Left);
        pushup(y);
        return y;
    }
}

各种修改&查询

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### 插入

假设插入的值为\(key\)，把树分裂按\(key-1\)分裂成两棵，在中间新建结点，合并。

void insert(T key) {
    int x, y;
    split(Root, key - 1, x, y);
    Root = merge(merge(x, create(key)), y);
}

删除

假设删除的值为\(key\)，把树分裂按\(key\)分裂成\(X,Z\)，把\(X\)按\(key-1\)分裂成\(X,Y\)。这里\(Y\)上的结点的值都等于\(key\)。如果只删除一个结点，就把\(Y\)赋值为它的左右子树合并的结果，在合并\(X,Y,Z\)。如果删除所有，就直接合并\(X,Z\)。

void remove(T key) {
    int x, y, z;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    if (y) { // 如果删除所有，就直接去掉这个if语句块，并且下面的只合并x, z
        y = merge(Tree[y].Left, Tree[y].Right);
    }
    Root = merge(merge(x, y), z);
}

查询指定值的排名

如果是在一个有序的序列中查询排名，我们可以二分查找这个序列，然后根据找到的元素的下标来确定排名，假设下标从\(1\)开始，那么排名就为该元素的下标\(i\)。那么，在它之前，也就有\(i-1\)个元素。由此，我们可以得到排名的一种定义：在有序序列中，一个元素的排名就是它前面的元素的个数\(+1\)。

在FHQ Treap上，我们就直接按\(key-1\)分裂树，查一下值小于等于\(key-1\)的树的大小，再\(+1\)即可。

int rank(T key) {
    int x, y, ans;
    split(Root, key - 1, x, y);
    ans = Tree[x].Size + 1;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

查询指定排名的值

写法1

从根节点开始，根据左子树的\(size+1\)确定往哪里走,分三种情况。

• \(size+1=rank\)，找到答案
• \(size+1>rank\)，在左子树
• \(size+1<rank\)，在右子树

T at(int r) {
    int root = Root;
    while (true) {
        if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 == r) {
            break;
        } else if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 > r) {
            root = Tree[root].Left;
        } else {
            r -= Tree[Tree[root].Left].Size + 1;
            root = Tree[root].Right;
        }
    }
    return Tree[root].Key;
}

写法2

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根据按大小分裂，把树分裂成三棵，取中间那棵的值。

// 这里的split是按大小分裂
T at(int r) {
    int x, y, z;
    split(Root, r - 1, x, y);
    split(y, 1, y, z);
    T ans = Tree[y].Key;
    Root = merge(merge(x, y), z);
    return ans;
}

推荐大家用写法1，总的代码更少，速度更快。

查询前驱

前驱，即最大的小于被查询元素的元素

按\(key-1\)分裂树，在值小于等于\(key-1\)的树上一直向右下走，就是走到中序遍历的最后一个结点，合并后返回值即可。

T prev(T key) {
    int x, y, root;
    T ans;
    split(Root, key - 1, x, y);
    root = x;
    while (Tree[root].Right) root = Tree[root].Right;
    ans = Tree[root].Key;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

查询后继

后继，即最小的大于被查询元素的元素

和查询前驱一样的。就是在另外一棵树上往左下走。

T next(T key) {
    int x, y, root;
    T ans;
    split(Root, key, x, y);
    root = y;
    while (Tree[root].Left) root = Tree[root].Left;
    ans = Tree[root].Key;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

查询树的大小

直接返回根节点记录的大小。

int size() {
    return Tree[Root].Size;
}

查询一个元素是否存在

把树分裂为三棵，中间那棵的值全部等于\(key\)，再看看中间的树的大小是否不为\(0\)，不为\(0\)则有这个元素。

bool find(T key) {
    int x, y, z;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    bool ans;
    if (Tree[y].Size) ans = true;
    else ans = false;
    Root = merge(merge(x, y), z);
    return ans;
}

垃圾回收优化

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对于那些被删除的结点，我们可以把它们存起来，新建结点时使用。

需要修改的函数：

// Stack[]即栈，用来存储结点，也可以使用std::stack<T>
void remove(T key) {
    int x, y, z;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    if (y) {
        if(Top < (MaxSize >> 8) - 5) Stack[++Top] = y;
        y = merge(Tree[y].Left, Tree[y].Right);
    }
    Root = merge(merge(x, y), z);
}

int create(T key) {
    int root = Top ? Stack[Top--] : ++Total;
    Tree[root].Key = key;
    Tree[root].Size = 1;
    Tree[root].Left = Tree[root].Right = 0;
    Tree[root].Priority = rad();
    return root;
}

完整实现

不贴代码了，如果想看指针版来GitHub。

例题

普通平衡树

• 题目:LOJ 104
• 程序

平衡树板子题，直接复制GitHub的代码再加上头文件和main函数就可以\(AC\)了。（知道你们最喜欢\(AC\)了）

文艺平衡树

• 题目：LOJ 105
• 程序

时间原因，码风有点不一样，就凑合这看吧。

我们可以给每个结点多维护一个信息——翻转标记。对于翻转的每个区间\([l,r]\)，我们可以按大小分裂，实现按\(l-1\)分裂出\(X,Y\)，再将\(Y\)按\(r-l+1\)分裂为\(Y,Z\)。给\(Y\)树大上翻转标记即可。再考虑标记下传，如果一个结点没有被翻转（被翻转偶数次也算没有翻转），就直接返回，否则去除当前结点的翻转标记，给子结点的翻转标记取反（或异或\(1\)），交换两个子结点。同时，在split函数和merge函数里添加标记下传代码。

实现细节如下：

void pushdown(int rt) {
    if (tree[rt].rev == 0)
        return;
    swap(tree[rt].l, tree[rt].r);
    tree[tree[rt].l].rev ^= 1;
    tree[tree[rt].r].rev ^= 1;
    tree[rt].rev = 0;
}

void split(int rt, int sze, int &x, int &y) {
    if (rt == 0) {
        x = y = 0;
        return;
    }
    pushdown(rt);
    if (tree[tree[rt].l].sze + 1 <= sze) {
        x = rt;
        split(tree[rt].r, sze - tree[tree[rt].l].sze - 1, tree[rt].r, y);
    } else {
        y = rt;
        split(tree[rt].l, sze, x, tree[rt].l);
    }
    pushup(rt);
}

int merge(int x, int y) {
    if (x == 0 || y == 0)
        return x + y;
    if (tree[x].pri > tree[y].pri) {
        pushdown(x);
        tree[x].r = merge(tree[x].r, y);
        pushup(x);
        return x;
    } else {
        pushdown(y);
        tree[y].l = merge(x, tree[y].l);
        pushup(y);
        return y;
    }
}

void reverse(int l, int r) {
    int x, y, z;
    split(root, l - 1, x, y);
    split(y, r - l + 1, y, z);
    tree[y].rev ^= 1;
    root = merge(merge(x, y), z);
}

最后按题目要求输出即可。

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## 郁闷的出纳员

• 题目：LOJ 10145
• 程序

本来这到题用Treap是需要打标记的，但是有了FHQ Treap就是个简单题了。如果给员工减工资，就先遍历一遍，然后对树split，把小于\(min\)的那棵树直接扔掉，并把它的大小加入答案。其他都没有什么问题了。

如果你也是自己写随机函数，一定要记得初始化种子，否则你会像我之前一样random()总是返回\(0\)，最后卡成了链，T飞了。