[POI2011]ROT-Tree Rotations 线段树合并|主席树 / 逆序对

题目[POI2011]ROT-Tree Rotations

【Description】

现在有一棵二叉树,所有非叶子节点都有两个孩子.在每个叶子节点上有一个权值(有\(n\)个叶子节点,满足这些权值为\(1..n\)的一个排列).可以任意交换每个非叶子节点的左右孩子.

要求进行一系列交换,使得最终所有叶子节点的权值按照中序遍历写出来,逆序对个数最少.

【Input Format】

第一行一个整数\(n\).

下面每行,一个数\(x\).

如果\(x =0\),表示这个节点非叶子节点,递归地向下读入其左孩子和右孩子的信息.

如果\(x\ne 0\),表示这个节点是叶子节点,权值为\(x\).

【Output Format】

一行,最少逆序对个数.

【Sample Input】

3
0
0
3
1
2

【Sample Output】

1

【Hint】

对于$ 30%$的数据：\(2<=n<=5000\)

对于\(100\%\)的数据：\(2<=n<=200000\)

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思路

首先需要明确的是,我们可以分层对逆序对进行计算.对于一个非叶子节点,我们可以先只计算它左子树与右子树中的叶结点形成的逆序对,至于它的某一个子树中的叶结点形成的逆序对,我们可以在下一步递归计算.

其次,在上述"分层计算"的思路中,当前层节点左右子树的交换,对向上一层的逆序对计数没有影响.换句话说,对一个节点\(p\),无论\(LC[p]\)(或\(RC[p]\))的两个子树交不交换,在\(LC[p]\)与\(RC[p]\)这一层计算出的逆序对数都是一样的.

到这里,很容易设计出算法:对于每个非叶子节点,计算交换与不交换它的子树这两种情况所产生的逆序对数,取最优值累加答案就可以了.可以考虑通过线段树合并的方式,把子树里叶结点的权值维护在权值线段树中,自底向上合并,利用线段树来求逆序对.

接下来的问题就是如何利用线段树里的数据求出逆序对.考试时我采用的方法是用类似DFS序的序列记录某一棵子树中具体包括了哪些权值,再用\(O(nlogn)\)的权值线段树求逆序对的基本算法求解.实际上,可以直接在将两个(线段树上的)节点合并为一个的时候,累加计算一个(线段树上的)节点小于等于\(mid\)(线段树区间中点)的值的个数与另一个(线段树上的)节点)大于等于\(mid\)的值的个数的乘积,由于在线段树上,值域是被覆盖完全的,所以累加的答案就是(题目中的树)这一层产生的逆序对数.

代码实现比较短,却涉及到对算法的本质的理解.

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代码

#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define SIZE 400005
#define SEGSIZE 4000005
int n,Root[SIZE],L[SIZE],R[SIZE],weight[SIZE],Totx;
long long P1,P2,ans;
//动态开点权值线段树
struct SegTree
{
	#define Mid ((X+Y)>>1)
	int sum[SEGSIZE],LC[SEGSIZE],RC[SEGSIZE],P;
	void change(int &x,int pos,int X,int Y)
	{
		if(x==0)x=++P;
		sum[x]++;
		if(X==Y)return;
		if(Mid>=pos)change(LC[x],pos,X,Mid);
		else change(RC[x],pos,Mid+1,Y);
	}
	int Merge(int u,int v,int X,int Y)
	{
		if(u==0||v==0)return u?u:v;
		P1+=(long long)sum[RC[u]]*sum[LC[v]];
		P2+=(long long)sum[LC[u]]*sum[RC[v]];
		sum[u]=sum[u]+sum[v];
		LC[u]=Merge(LC[u],LC[v],X,Mid);
		RC[u]=Merge(RC[u],RC[v],Mid+1,Y);
		return u;
	}
}T;
//递归建图
int Read()
{
	int x,u=++Totx;
	scanf("%d",&x);
	if(x>0)weight[u]=x;
	else{ L[u]=Read(); R[u]=Read(); }
	return u;
}
//深搜 自底向上合并
void DFS(int u)
{
	if(weight[u])T.change(Root[u],weight[u],1,n);
	else
	{
		DFS(L[u]);
		DFS(R[u]);
		P1=0,P2=0;
		Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[L[u]],1,n);
		Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[R[u]],1,n);
		ans+=min(P1,P2);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	Read();
	DFS(1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
} 

---

附录

考场代码(\(TLE\))

#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define SIZE 400005
#define SEGSIZE 8000005
int n,Root[SIZE],weight[SIZE],L[SIZE],R[SIZE],ans;

//动态开点权值线段树
struct SegTree
{
	#define Mid ((X+Y)>>1)
	int sum[SEGSIZE],LC[SEGSIZE],RC[SEGSIZE],P;
	int query(int x,int L,int R,int X,int Y)
	{
		if(x==0||Y<L||X>R)return 0;
		if(X>=L&&Y<=R)return sum[x];
		return query(LC[x],L,R,X,Mid)+query(RC[x],L,R,Mid+1,Y);
	}
	void change(int &x,int pos,int X,int Y,int v)
	{
		if(x==0)x=++P;
		sum[x]+=v;
		if(X==Y)return;
		if(Mid>=pos)change(LC[x],pos,X,Mid,v);
		else change(RC[x],pos,Mid+1,Y,v);
	}
	int Merge(int u,int v,int X,int Y)
	{
		if(u==0||v==0)return u?u:v;
		int x=++P;
		sum[x]=sum[u]+sum[v];
		LC[x]=Merge(LC[u],LC[v],X,Mid);
		RC[x]=Merge(RC[u],RC[v],Mid+1,Y);
		return x;
	}
}T;

//递归建图 求DFS序
int Totx=0,DFx[SIZE],DFx_C,Lx[SIZE],Rx[SIZE];
int Read()
{
	int x,u=++Totx;
	scanf("%d",&x);
	Lx[u]=DFx_C+1;
	if(x>0){ weight[u]=x; DFx[++DFx_C]=x; }
	if(x==0){ L[u]=Read(); R[u]=Read(); }
	Rx[u]=DFx_C;
	return u;
}

//深搜 自底向上合并
void DFS(int u)
{
	if(weight[u])T.change(Root[u],weight[u],1,n,1);
	else
	{
		DFS(L[u]);
		DFS(R[u]);

		int P1=0,P2=0;
		for(int i=Lx[L[u]];i<=Rx[L[u]];i++)
			P1+=T.query(Root[R[u]],1,DFx[i],1,n);//O(nlogn)计算逆序对
		for(int i=Lx[R[u]];i<=Rx[R[u]];i++)
			P2+=T.query(Root[L[u]],1,DFx[i],1,n);
		ans+=min(P1,P2);

		Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[L[u]],1,n);
		Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[R[u]],1,n);
	}
}

int main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin);
	freopen("tree.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	Read();
	DFS(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}