POJ2299Ultra-QuickSort(归并排序 + 树状数组求逆序对)

树状数组求逆序对

 

转载http://www.cnblogs.com/shenshuyang/archive/2012/07/14/2591859.html

转载：

树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释：

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

不是单纯的建立在输入数组之上。

比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

①当然用map可以建立，效率可能低点；

②这里用一个结构体

struct Node

{

int v,ord;

}p[510000];和一个数组a[510000];

其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，

每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

其中 i 为当前已经插入的数的个数，

getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,

i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数

但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

---

 

Ultra-QuickSort

Time Limit: 7000MS		Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 50443		Accepted: 18497

Description

In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence 
9 1 0 5 4 ,
Ultra-QuickSort produces the output 
0 1 4 5 9 .
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.

Input

The input contains several test cases. Every test case begins with a line that contains a single integer n < 500,000 -- the length of the input sequence. Each of the the following n lines contains a single integer 0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999, the i-th input sequence element. Input is terminated by a sequence of length n = 0. This sequence must not be processed.

Output

For every input sequence, your program prints a single line containing an integer number op, the minimum number of swap operations necessary to sort the given input sequence.

Sample Input

5
9
1
0
5
4
3
1
2
3
0

Sample Output

6
0

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 const int MAX =  + ;
 int c[MAX],n;
 struct node
 {
     int index,key;
 };
 node a[MAX];
 int cmp(node x,node y)
 {
     return x.key < y.key;
 }
 int lowbit(int k)
 {
     return k & (-k);
 }
 void update(int x,int num)
 {
     for(int i = x; i <= n; i+= lowbit(i))
     {
         c[i] += num;
     }
 }
 long long getsum(int x)
 {
     long long s = ;
     for(int i = x; i > ; i -= lowbit(i))
     {
         s += c[i];
     }
     return s;
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%d", &n) != EOF && n)
     {
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             scanf("%d", &a[i].key);
             a[i].index = i;
         }
         sort(a + , a + n + , cmp);
         memset(c, , sizeof(c));
         long long sum = ;
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             update(a[i].index, );
             sum += i - getsum(a[i].index);
         }
         printf("%I64d\n", sum);
     }

     return ;
 }

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 const int MAX =  + ;
 int a[MAX],temp[MAX];
 long long ans;  //第一发wa，错在这个设成int
 void MergArray(int first,int mid,int last,int temp[])
 {
     int i = first,j = mid + ;
     int k = ;
     while(i <= mid && j <= last)
     {
         if(a[i] < a[j])
         {
             temp[k++] = a[i++];
         }
         else
         {
             ans += (mid  - i +  );
             temp[k++] = a[j++];
         }
     }
     while(i <= mid)
         temp[k++] = a[i++];
     while(j <= last)
         temp[k++] = a[j++];
     for(int i = ; i < k; i++)
         a[first + i] = temp[i];
 }
 void MergSort(int first,int last,int a[])
 {
     if(last > first)
     {
         int mid = (first + last) / ;
         MergSort(first,mid,a);
         MergSort(mid + ,last,a);
         MergArray(first,mid,last,temp);
     }
 }
 int main()
 {
     int n;
     while(scanf("%d", &n) != EOF && n)
     {
         for(int i = ; i < n; i++)
         {
             scanf("%d", &a[i]);
         }
         ans = ;
         MergSort(,n - ,a);

         printf("%I64d\n",ans);
     }
     return ;
 }