codeforces C. Vasily the Bear and Sequence 解题报告
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/336/C
题目意思:给出一个递增的正整数序列 a1, a2, ..., an,要求从中选出一堆数b1, b2, ..., bk,这堆数进行完按位&运算之后(b1 and b2 and ... and bk),能被2v整除。除此,还要求所选中的这堆数是两两不同的,&之后要最大,换句话来说,v 要尽可能最大,如果找到最大的v的方法有多种,即在 a1, a2, ..., an 中有很多种不同的组合 & 完后能求得最大的v,则挑中的这堆数要尽可能最多。如果得到最多的数还是有多种,只需要写出其中一种即可,如果没找到符合条件的v,则输出-1。
这道题目想了4天多,看来要做出一条综合题的题目真的需要花费很长时间。一开始很天真的以为,暴力从a1往an搜,一个一个&,如果&完之后的结果是0,则置从&中最后运算完的数开始重新初始化。即假设给出序列1 2 3 4 5,1&2之后会等于0,于是不要&前的1,从2开始继续&,2&3......,直到最后一个数&完为止即可。很明显,这是不符合题意的,因为不能保证v最大。
(例如,给出10个数
109070199 215498062 361633800 406156967 452258663
530571268 670482660 704334662 841023955 967424642
错误的解法会得出 704334662 841023955 967424642, &的结果是
1,0000,0001,0000,1000,0000,1000,0010,v = 1。
而正确的结果是 361633800 406156967 452258663 530571268 841023955 967424642, &的结果是1,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,v = 28。)
看来,&完之后的结果大并不意味着v会更大。关键取决于v的右边的0尽可能最多。
正确的思路:进行两轮筛选。考虑到 an 最大为109 ,且要使v最大,那么应该从v = 31(109 约为 2^30)开始遍历序列,分别尝试与序列中的每个数相&,如果不为0,代表这个数的第 v 位为1,把这个数先保存下来(第一轮筛选,并不保证是最后的结果), 接着从这些被筛选出的数中验证哪些符合第 v-1~1 位与一个第 v-1~1 位都为1的数(也就是下面所说的temp) 相&等于0,符合的就代表v是最优的,则为结果。题目的关键是设置一个临时变量temp,其从第1位到第v-1位都是1,每次将满足第v位为1的,与这个变量做&操作。
能得到这个思路,很谢谢hdu 群的silence,深感位运算的基础没打好啊,要继续努力才行。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std; const int maxn = + ;
int a[maxn], b[maxn], c[maxn]; // a[]是输入的序列,b[]是第一轮筛选出的数,c[]是第二轮即最后得出符合条件的数 int main()
{
int i, j, k, l, n, v, temp, flag;
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
for (i = ; i < n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
}
for (v = ; v >= ; v--)
{
temp = ( << v) - ; // 关键所在,使得v-1~1位都置为1
// printf("tempout = %d\n", temp);
flag = j = ;
for (i = ; i < n; i++)
{
if (a[i] & ( << v)) // 挑出序列中满足第v位为1的数
{
// printf("a[%d] = %d\n", i, a[i]);
b[j++] = a[i];
// printf("b[%d] = %d\n", j-1, b[j-1]);
// printf("tempin1 = %d\n", temp);
temp &= a[i];
// printf("tempin2 = %d\n", temp);
}
}
if (j == )
continue; // 没找到进行下一轮循环
// printf("j = %d\n", j);
// printf("temp_num = %d\n", temp);
for (l = k = ; k < j; k++)
{
if (!(temp & b[k])) // 验证第一轮筛选出的数中是否符合第v-1~1位与temp中相&后是否都为0
{
temp &= b[k];
c[l++] = b[k];
// printf("c[%d] = %d\n", l-1, c[l-1]);
}
}
if (l == ) // l 保存找到的总个数
continue;
for (k = ; k < l; k++) // 找到一组解,且这个解满足是最优解
{
if (k == )
printf("%d\n%d", l, c[k]);
else
printf(" %d", c[k]);
}
printf("\n");
flag = ; // 找到符合条件的v的标志
break;
}
if (!flag) // 没有找到
printf("-1\n");
}
return ;
}
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