BZOJ3141 Hnoi2013 游走 【概率DP】【高斯消元】*
BZOJ3141 Hnoi2013
Description
一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。
现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小。
Input
第一行是正整数N和M,分别表示该图的顶点数 和边数,接下来M行每行是整数u,v(1≤u,v≤N),表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10,100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。
Output
仅包含一个实数,表示最小的期望值,保留3位小数。
Sample Input
3 3
2 3
1 2
1 3
Sample Output
3.333
HINT
边(1,2)编号为1,边(1,3)编号2,边(2,3)编号为3。
我们先把概率的DP转移方程列出来
发现因为是无向图,所以一定有方程转移是纠缠在一起的
然后我们就用高斯消元的方式解开方程组就可以得到答案了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 510
int n,m,out[N];
double p[N][N];
bool mp[N][N];
const double eps=1e-9;
struct Q{
int x,y;
double w;
}e[N*N];
bool cmp(const Q& a,const Q& b){
return a.w>b.w;
}
void gauss(int n,double a[N][N]){
for(int i=0;i<n;i++){
int r=i;
for(int j=i+1;j<n;j++)
if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i]))r=j;
if(r!=i)for(int j=0;j<=n;j++)swap(a[r][j],a[i][j]);
for(int k=i+1;k<n;k++){
double f=a[k][i]/a[i][i];
for(int j=i;j<=n;j++)a[k][j]-=f*a[i][j];
}
}
for(int i=n-1;i>=0;i--){
for(int j=i+1;j<n;j++)
a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];
a[i][n]/=a[i][i];
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
e[i].x--;e[i].y--;
mp[e[i].x][e[i].y]=mp[e[i].y][e[i].x]=1;
out[e[i].x]++;
out[e[i].y]++;
}
n--;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
if(mp[i][j])p[i][j]=1.0/out[j];
for(int i=0;i<n;i++)
p[i][i]-=1;
p[0][n]=-1;
gauss(n,p);
for(int i=1;i<=m;i++)
e[i].w=p[e[i].x][n]/out[e[i].x]+p[e[i].y][n]/out[e[i].y];
sort(e+1,e+m+1,cmp);
double ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
ans+=e[i].w*i;
printf("%.3lf",ans);
return 0;
}
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