【LibreOJ】#6259. 「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞

【题目】给定n行m列的矩阵，每个位置有一个指示方向（上下左右）或没有指示方向（任意选择），要求给未定格（没有指示方向的位置）确定方向，使得从任意一个开始走都可以都出矩阵，求方案数。n,m<=200，k<=300（未定格数量）。

【算法】生成树计数（矩阵树定理）

【题解】先对定向格DFS找环判断是否无解。

然后每个点向指示方向连边，未定格向四周连边，外界作为一个点。

将所有有向边反向后，就是求根为外界的树形图的数量，生成树计数问题用矩阵树定理解决。

复杂度T*O((n*m)^3)。

考虑优化，发现重要的只有未定格的方向且k很小，所以将未定格之间的路径直接计算后只保留未定格的图，再用矩阵树定理解决。

复杂度T*O(k^3)。

注意：

1.逆元的log放在外面，否则复杂度会变成O(k^3*log k)。

2.因为要取模，高斯消元前必须全部变成正数，且矩阵每次交换两行都会使答案取反。

3.有重边，邻接矩阵不能赋值为1，有向边度数矩阵只计算入度。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=,MOD=1e9+;
const int fx[]={,,,-};
const int fy[]={,-,,};
struct edge{int v,from;}e[maxn*];
struct node{int x,y;}b[maxn];
int n,m,vis[maxn][maxn],v[maxn][maxn],tot,t[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
char s[maxn];
bool ok;
void dfs(node u,int mark){
    if(v[u.x][u.y]||u.x<||u.x>n||u.y<||u.y>m)return;
    vis[u.x][u.y]=mark;
    int X=u.x+fx[t[u.x][u.y]],Y=u.y+fy[t[u.x][u.y]];
    if(vis[X][Y]==mark)ok=;
    else if(vis[X][Y])return;
    else dfs((node){X,Y},mark);
}
void insert(int u,int v){
    a[v][v]++;a[u][v]--;//
}
void gcd(int a,int b,int& x,int& y){
    if(!b){x=;y=;}
    else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int inv(int a){
    int x,y;
    gcd(a,MOD,x,y);
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}
int gauss(int n){
    bool f=;
    for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=n;j++)a[i][j]=(a[i][j]+MOD)%MOD;
    for(int i=;i<=n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i+;j<=n;j++)if(a[j][i]>a[r][i])r=j;
        if(r!=i){for(int j=i;j<=n+;j++)swap(a[i][j],a[r][j]);f^=;}
        int w=inv(a[i][i]);//
        for(int j=i+;j<=n;j++){
            for(int k=n+;k>=i;k--){
                a[j][k]=(a[j][k]-1ll*a[j][i]*w%MOD*a[i][k]%MOD+MOD)%MOD;//
            }
        }
    }
    int ans=f?MOD-:;
    for(int i=;i<=n;i++)ans=1ll*ans*a[i][i]%MOD;
    return ans;//
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(v,,sizeof(v));
        memset(vis,,sizeof(vis));
        memset(a,,sizeof(a));
        tot=;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%s",s+);
            for(int j=;j<=m;j++){
                if(s[j]=='U')t[i][j]=;
                if(s[j]=='D')t[i][j]=;
                if(s[j]=='L')t[i][j]=;
                if(s[j]=='R')t[i][j]=;
                if(s[j]=='.'){v[i][j]=++tot;b[tot]=(node){i,j};}
            }
        }
        ok=;
        for(int i=;i<=n;i++){
            for(int j=;j<=m;j++)if(!vis[i][j])dfs((node){i,j},(i-)*m+j);
            if(!ok)break;
        }
        if(!ok){puts("");continue;}
        tot++;
        for(int i=;i<tot;i++){
            int x=b[i].x,y=b[i].y;
            for(int j=;j<;j++){
                int X=x+fx[j],Y=y+fy[j];bool yes=;
                while(X>=&&X<=n&&Y>=&&Y<=m){
                    if(v[X][Y]){if(v[X][Y]!=i)insert(v[X][Y],i);yes=;break;}
                    else{
                        int o1=fx[t[X][Y]],o2=fy[t[X][Y]];
                        X+=o1;Y+=o2;
                    }
                }
                if(!yes)insert(tot,i);
            }
        }
        printf("%d\n",gauss(tot-));
    }
    return ;
}