[问题2014A09] 解答

[问题2014A09]  解答

通过简单的计算可得 \[(AB)^2=9AB,\cdots\cdots(1)\] 将 (1) 式的右边移到左边, 并将 \(A,B\) 分别提出可得 \[A(BA-9I_2)B=0.\cdots\cdots(2)\] 下面给出两种方法来讨论.

方法一  通过简单的计算可得 \(\mathrm{rank}(AB)=2\), 从而 \(\mathrm{rank}(A)\geq 2\); 又 \(A\) 是 \(3\times 2\) 矩阵, 故 \(\mathrm{rank}(A)\leq 2\), 于是 \(\mathrm{rank}(A)=2\), 即 \(A\) 是列满秩阵. 根据复旦高代书第 145 页习题 11 知, 存在 \(2\times 3\) 矩阵 \(C\), 使得 \(CA=I_2\). 同理可证: \(\mathrm{rank}(B)=2\), 即 \(B\) 是行满秩阵, 从而存在 \(3\times 2\) 矩阵 \(D\), 使得 \(BD=I_2\). 在 (2) 式两边左乘 \(C\), 右乘 \(D\) 可得 \[BA=9I_2.\]

方法二 (由张诚纯同学提供)  在 (2) 式左乘 \(B\), 右乘 \(A\) 可得 \[BA(BA-9I_2)BA=0.\cdots\cdots(3)\] 下面我们用 Cauchy-Binet 公式来计算 \(BA\) 的行列式: \begin{eqnarray*}|BA|&=&\sum_{1\leq i<j\leq 3}B\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ i & j \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} i & j \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\sum_{1\leq i<j\leq 3}A\begin{pmatrix} i & j \\ 1 & 2 \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ i & j \end{pmatrix}\\&=&\sum_{1\leq i<j\leq 3}(AB)\begin{pmatrix} i & j \\ i & j \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 8 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}\\&=&81.\end{eqnarray*} 因此 \(BA\) 是非异阵, 在 (3) 式的两边都消去 \(BA\) 后可得 \[BA=9I_2.\,\,\,\Box\]

注  (1) 在学了高代 II 的特征值之后, 我们容易得到 \(AB\) 的特征值是 9 (2 重), 0 (1 重), 由复旦高代书第 270 页习题 8 可得 \(BA\) 的特征值是 9 (2 重), 从而 \(BA\) 是非异阵. 如果限定在高代 I 的范围内, 张诚纯同学给出的用 Cauchy-Binet 公式计算 \(BA\) 行列式的方法可以直接证明 \(BA\) 非异.

(2) 本题和 [问题2014S05] 密切相关, 特别是其中的引理, 可以用来给出本题的第三种解法 (由于篇幅关系, 不再阐述), 具体细节请参考 [问题2014S05] 解答. 不过在解答的过程中需要事先确定 \(\lambda_0=9\), 这需要一定的观察才能得到.

(3) 从严格的角度来说, 最后我们还需要说明: 满足上述条件的 \(A,B\) 一定是存在的. 其实, 这样的例子有很多, 比如: \[A=B'=\begin{pmatrix} \frac{6}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{3}{\sqrt{5}} & \frac{4}{\sqrt{5}} \\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix}.\]