$\be$-QGE 的弱强唯一性

在 [Zhao, Jihong; Liu, Qiao. Weak-strong uniqueness criterion for the $\beta$-generalized surface quasi-geostrophic equation. Monatsh. Math. 172 (2013), no. 3-4, 431--440] 中, 作者考虑 $$\bee\label{be qge} \seddm{ \p_t\tt+(\bbu\cdot\n)\tt+\nu \vLm^\al \tt=0,\\ \tt|_{t=0}=\tt_0, } \eee$$ 其中 $$\bex \bbu=(u_1,u_2)=\vLm^{1-\be} \calR^\perp \tt =\vLm^{1-\be}(-\calR_2\tt,\calR_1\tt). \eex$$ 证明了如果 $$\bee\label{ws:Zhao-Liu} \n\tt\in L^p(0,T;L^q(\bbR^3)),\quad \f{\al}{p}+\f{2}{q} =\al+\be-1,\quad \f{2}{\al+\be-1}<q<\infty, \eee$$ 则有弱强唯一性. 想将其推广到 Besov 空间, 发现不行. 最起码 $q>2/\gm$ 的时候不行. 不知道有啥办法没有. 困难在于所估计的两个函数的正则性不一样. 嗨. 再等等.