[math] 我对对数的最新理解

前言

作为资深学渣，每次遇到对数就极度恐慌。恐慌不是因为要考试～～～。而是因为不理解，只能靠死记硬背运算规则。不能进行有效的推理，这让我极度不爽，因为会忘记。故惶恐。

所以总是耿耿于怀，想要试图理解对数的本质。最近看到了一篇文章，再一次的加深了理解。故整理了一些自己最新的感悟记录如下：

新的理解

接下来说一下我的最新理解，那么对数到底要怎么理解呢？

我们要知道自然数与四则运算的演化过程，之后自然便能导出到底啥是对数了。

需要指出的是，最近学习了函数式编程，所以整个思考过程中，其实是在背后运用了函数的思维进行理解的。只是由于本人的能力局限性，可能无法将这样思考过程也描述分享出来。

推理过程如下：

１．有一天，上帝创造了自然数。自然数除了天然存在以外，还有一个性质就是天然有序。

２．因为有序，所以有了从一个数到达相邻数的计数操作，也就是加一操作，以及它的逆运算减一。我们称之为计数操作与逆计数（我自己起的名～～～，理解要领就好～～～）

３．通过计数操作，我们定义累计计数操作，或者叫做连续计数操作。称之为加法，以及它的逆运算减法。

　　在步骤２里边，我们看到计数操作是二元的，第一元是ｏｐ（正计数/逆计数），第二元是基数（比如从５数到６，５就是基数）。（其实从加法的角度理解，也是三元的，只不过第三元是常数１．但是你不要忘了我还没创造出加法呢，这个时候）

　　那么到了步骤３里，我们这里的概念已经变成了三元的。ｏｐ是加或减，第二元是基数，第三元是操作数。操作数就是做几次连续计数。如　５＋６＝１１可以理解为

　　对数５进行６次连续计数（加一）操作，得数为１１．

　　那么逆运算，也就是减法。是怎么来的呢？所谓逆运算就是通过得数反过来求得正向运算中的其他因子（不准确，领会要领。作者实在业余。。。）。来回答这样的两个问题：

　　ａ。什么数做连续６次的计数操作可以得到１１？

　　ｂ。５做连续多少次的计数操作可以得到１１？

　　关于问题ｂ，我们这样求：对１１连续做逆计数运行，当到底５的时候，我们发现一共进行了６次。我们说：１１进行某 f１(５）操作后得到６．

　　问题ａ，我们这样求：对１１连续做６次逆计数运算，发现第六次结束之后，这个数是５．我们说：１１进行某f2（６）操作之后得到５．

　　这里ｆ１和ｆ２是两个不同的操作，ｆ１是指减减减减减一直减到５为止。ｆ２是指减一下再减一下，一直减六下。如果你是个程序员，你们就会明明实现这个两个函数是完全不一样的逻辑。。。

　　（额。。。　我真是表达能力捉鸡。。有点吃力。。。）

　　然后奇怪的事情发生了～～～，我们突然发现，在这个过程中５和６其实是可以互换的～～～这就是伟大的加法交换律啊，我的天～～～

　　所以我们知道了，奇迹发生了，函数ｆ１和函数ｆ２是等价的。然后，我们给他俩起一个新的名字，叫做减法。

　　就是说：因为加法有两个操作数（另一个之前我管他叫基数），所以它的运算反过程，也有对应的两个操作ｆ１和ｆ２，但是因为交换律的存在。所以ｆ１和ｆ２是统一的，也就是减法。

　　故，把这个过程就定义为了加法的逆运算，我们称之为减法。

　　这也就是交换律的意义。

４．于是我们上瘾了，是的。把２－＞３的推导过程再玩一次。

　　对同一个基数，连续做ｎ的加法运算。我们称之为乘法。

　　就是５加５加５加５连续加了６次，称５乘６．

　　乘法同样是一个ｏｐ，一个基数，一个操作数。而ＴＭＤ的简直神了，乘法居然也满足交换律～～～

　　就是６加６加６加６连续加５次，竟然和前一次相等。

　　故，基于３中的推理，得到了除法。请注意，这里的除法也是ｆｕｎｃｔｉｏｎ１（）与ｆｕｎｃｔｉｏｎ２（）的等价物，因为交换律。

　　另外，你自然会问，那么０呢？０为啥不能做除数呢，凭什么？然后遗憾的是，我们这里不讨论０，因为请回到本小节第一句话，我们是在自然数系中讨论问题，还没创造０呢，亲。（其实是因为我还没想明白。。）

５．那么继续，再推导一次２－＞３的推理过程。

　　对同一个基数，连续做ｎ次的乘法操作。我们称之为乘方运算

　　就是：５乘５乘５乘５，连续乘６次。得１５６２５

　　然后遗憾的是，乘方运算不再满足交互律，也就是６乘６乘６，连续乘５次得７７７６，不再与前式相等。于是也就没有了逆运算。

　　但是不要怕，我们依然有ｆｕｎｃｔｉｏｎ１和ｆｕｎｃｔｉｏｎ２。区别是他们两个不在等价了。

　　我们定义ｆｕｎｃｔｉｏｎ１为开方运算，指求前式中的５，他回答的是这样一个问题：

　　什么数连续乘，乘６次之后得１５６２５

　　我们定义ｆｕｎｃｔｉｏｎ２为对数运算，用来求得前式中的６，他回答的是这样一个问题：

　　自然数５连续乘乘乘，乘多少次之后得１５６２５

６．截止到前文，我们已经理解好了啥是对数了。

　　如前所属，这样的结果并不好看，对吧。

　　于是为了好看。数学家们在将四则运算扩展至有理数域的时候，竟然通过引入新的定义，将乘方和开方统一了～～～，统称为幂运算。

　　这地方，还有待详细理解。以后再说吧。。。

　　补充：

７．然后还要一个值得一提的是。

　　在历史上对数并不是从我们先前的推导过程中出现的。在实际生活中，对数早于乘方出现了很长时间。它的出现主要是为了解决乘法运算不好算，

　　并且数很大的问题。而对数的意义在于通过如下两个公式，神奇的将乘法运算转换回加法运算，除法运算转化为减法运算。

　　关于这个问题的详细探讨，就要交给扩展阅读里的第一篇文章来讲解了。　　

８．还有还有

　　通过前边的推理，我们是不是可以再抽象一个高度，把对数/开方与除法理解为同等的概念来处理？总感觉他们冥冥之中具有相同的性质。都是一种拆分？？　

　　还有待深入的学习。

　　知乎一个人的回答，只言片语～～

　　

乘法群(R^+,\times)到加法群(R,+)的同构。
 
微分方程\frac{dy}{dx}=\frac1x在y\vert_{x=}=0的解。

扩展阅读

本来想贴过来，后来发现贴过来巨丑，自己点进去看吧，各位。

如何理解对数：https://www.matongxue.com/madocs/12.html

自然底数到底怎么就自然了：https://zhuanlan.zhihu.com/p/48391055

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ｕｐｄａｔｅ　＠　２０１９－０２－０６

对数的计算公式总结：(参见维基百科)

这里的问题在于，如何记住这些公式。记得上高中的时候就是死记硬背。最后这么多年之后还是忘记了。

这一次，我通过侧重于理解的方式，将他们记了下来。应该不会再忘记。其实深入的理解了机制之后，以上的公式就变得很直观了，甚至不需要证明，就能理解运用。