bzoj 2752 9.20考试第三题 高速公路(road)题解

2752: [HAOI2012]高速公路(road)

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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r   表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000　　

　　考试前一天晚上做梦，梦见自己考试140，倒数第二，一开始以为自己只是日有所思夜有所梦，然后……这道题助我梦想成真/(ㄒoㄒ)/~~然而最终只有20分……

　　其实当天已经推出来了式子，然而由于不敢去打，只能打了区间修改单点查询的打法，结果还全E了，好尴尬啊，连暴力的40分都没拿到。

　　基本大多数人都可以推到这里——一个边对于答案的贡献（不算分母）：设这条边为第i条边，询问为l,r：(i-l+1)*(r-i)*v[i]。

　　然后我们大可把这个式子展开为：

　　　　　　r*(i+1)*v[i]+i*l*v[i]-l*r*v[i]-i*(i+1)*v[i]。

　　由于l,r随询问而变，我们无从得知，但由于求得是上述式子的最终值，我们可以去维护上式中的四个单项式，以及他们的系数。

　　通过系数我们就可以很轻松的应对区间修改，因为系数是不受任何影响的，而对于每一个修改，对于答案的影响就是修改值乘以系数，这样我们的修改查询都是log n的了。

　　最后叮嘱的一点是long long 不然会死的很惨。

 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<vector>
 #define N 100004
 #define int long long
 using namespace std;
 int n,m;
 struct no
 {
     int left,right,mid;
     long long lazy;
     long long data[];
     long long sum[];
 }node[N*];
 long long gcd(long long a,long long b)
 {
     if(b==)return a;
     return gcd(b,a%b);
 }
 void pushup(int x)
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         node[x].data[i]=node[x*].data[i]+node[*x+].data[i];
         node[x].sum[i]=node[x*].sum[i]+node[*x+].sum[i];
     }
 }
 void build(int left,int right,int x)
 {
     node[x].left=left,node[x].right=right;
     if(left==right)
     {
         node[x].data[]=left+;
         node[x].data[]=left;
         node[x].data[]=;
         node[x].data[]=left*(left+);
         return;
     }
     int mid=(left+right)>>;
     node[x].mid=mid;
     build(left,mid,*x);
     build(mid+,right,*x+);
     pushup(x);
 }
 struct inf
 {
     long long a,b;
 };
 char b[];
 void pushdown(int x)
 {
     if(node[x].lazy)
     {
         node[*x].lazy+=node[x].lazy;
         node[x*+].lazy+=node[x].lazy;
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             node[*x].sum[i]+=node[x].lazy*node[*x].data[i];
             node[*x+].sum[i]+=node[x].lazy*node[*x+].data[i];
         }
         node[x].lazy=;
     }
 }
 void add(int left,int right,int x,int z)
 {
     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
     {
         node[x].lazy+=z;
         for(int i=;i<=;i++)
             node[x].sum[i]+=node[x].data[i]*z;
         return;
     }
     pushdown(x);
     int mid=node[x].mid;
     if(left>mid)
         add(left,right,x*+,z);
     else if(right<=mid)
         add(left,right,*x,z);
     else
         add(left,mid,x*,z),add(mid+,right,*x+,z);
     pushup(x);
 }
 inf get(long long left,long long right,int x,long long l,long long r)
 {
     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
     {
         inf aa;
         aa.a=node[x].sum[]*r-l*r*node[x].sum[];
         aa.a-=node[x].sum[];
         aa.a+=l*node[x].sum[];
         aa.b=(r-l+)*(r-l)/;
         long long t=gcd(aa.a,aa.b);
         aa.a/=t;
         aa.b/=t;
         return aa;
     }
     pushdown(x);
     int mid=node[x].mid;
     if(left>mid)
         return get(left,right,*x+,l,r);
     else if(right<=mid)
         return get(left,right,*x,l,r);
     else
     {
         inf aa=get(left,mid,*x,l,r);
         inf bb=get(mid+,right,*x+,l,r);
         if(aa.b==bb.b)
         {
             aa.a+=bb.a;
             long long t=gcd(aa.a,aa.b);
             if(t!=)
                 aa.a/=t,aa.b/=t;
             return aa;
         }
         else
         {
             long long tt=gcd(aa.b,bb.b);
             long long c;
             if(aa.b%tt==)
             {
                 c=aa.b/tt;
                 c*=bb.b;
             }
             else if(bb.b%tt==)
             {
                 c=bb.b/tt;
                 c*aa.b;
             }
             else
             {
                 c=aa.b*bb.b/tt;
             }
             aa.a*=c/aa.b;
             bb.a*=c/bb.b;
             aa.a+=bb.a;
             aa.b=c;
             long long t=gcd(aa.a,aa.b);
             if(t!=)
                 aa.a/=t,aa.b/=t;
             return aa;
         }
     }
 }
 signed main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     build(,n-,);
 while(m--)
 {
     scanf("%s",b);
     if(b[]=='C')
     {
         int l,r,z;
         scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&z);
         add(l,r-,,z);
     }
     else
     {
         long long l,r;
         scanf("%lld%lld",&l,&r);
         inf tt=get(l,r-,,l,r);
         printf("%lld/%lld\n",tt.a,tt.b);
     }
 }
     return ;
 }