《机器学习基石》---VC维

1 VC维的定义

VC维其实就是第一个break point的之前的样本容量。标准定义是：对一个假设空间，如果存在N个样本能够被假设空间中的h按所有可能的2的N次方种形式分开，则称该假设空间能够把N个样本打散；假设空间的VC维就是它能打散的最大样本数目N。若对任意N，总存在一组样本使得假设空间能将它们打散，则函数集的VC维是无穷大：

几种假设空间的VC维如下：

2 推导d维感知机的VC维

这里将证明，d维感知机的vc维是d+1。

第一步，证明 dvc >= d + 1。

要证明 dvc >= d+1，我们只需要找到一组大小是d+1数据，使它能够被d维感知机打散。

这里我们就给了这样一组数据：

想一下，什么叫打散？就是：

由于X是可逆的，因此对于任意的y，都能求出一个w。

因此就证明了 dvc >= d+1.

第二步，证明 dvc <= d + 1

要证明 dvc <= d+1，我们需要证明，d维感知机不能打散任意一组大小为d+2的数据。

我们给任意一组大小为d+2的数据：

由于每个行向量维度是d+1，因此由线性代数的结论，他们是线性相关的，即有：

现在我们取一种Dicotomy，使得圈圈叉叉与前面的系数a同号：

可以发现由于这个线性依赖，使得第d+2个数据一定是大于0的，所以我们就没办法shatter了。

因此就证明了dvc = d + 1。

3 VC维的物理意义

VC维表示的是做二分类时假设空间的自由度，是把数据集打散的能力。

我们可以用如下的方法来估计VC维：

即这个假设空间里面可调整的参数的个数。(只是一种估计的方法，有时候可能是不对的）

4 折衷

我们在选择假设空间时，如果选的假设空间VC维太小，好处是能保证Ein和Eout是PAC近似的，坏处是由于假设空间自由度太低，产生的Dichotomy太少，算法可能找不到使得Ein比较小的假设函数h;如果我们的VC维选的很大，好处是假设空间自由度高，能保证算法能找到一个Ein较小的假设函数h，坏处是我们坏事情发生的概率增大了（过拟合了，Ein很小但Eout很大）。

5 模型复杂度

对VCbound进行相应的变形（过程略），我们可以得到（其中根号式Ω称为模型复杂度）：

因此我们有如下图：

即vc维增大时，由于产生了更多的Dichotomy，因此Ein通常会下降，但是坏事发生的几率变大了；

vc维减小时，坏事发生的几率减小了，但是Dichotomy比较少，算法的选择有限，因此Ein通常不会太好。

因此最好的vc维是介于中间的。

6 VC-bound是宽松的

按照vcbound, 如果我们要求泛化误差ε是0.1，并且要求坏事发生的几率为0.1，我们可以推出：

然而实际上，我们并不需要这么多数据，通常只需要：

这是因为，VC bound是一个很宽松的上界，宽松表现为以下四点：