数位DP 详解

序

天堂在左，战士向右

引言

数位DP在竞赛中的出现几率极低，但是如果不会数位DP，一旦考到就只能暴力骗分。

以下是数位DP详解，涉及到的例题有：

• [HDU2089]不要62
• [HDU3652]B-number

概述

首先我们要理清的是，到底数位DP是什么。

事实上，一般数位DP的题目题面描述都会有以下内容：

• 求出一段区间\([l,r]\)中，满足某一特殊条件的数有多少个

在例题1 不要62中，特殊条件是数中不能出现"62"；在例题2 B-number中，特殊条件是数中出现了13且该数可以被13整除；

一般题目中的数据范围\([l,r]\)会使得\(O(n)\)超时。因此，直接遍历将无法拿到全分。而数位DP则是在范围内按位递推出最大值的快捷算法。以例题2 B-number中的数位DP为例：



足以显示出数位DP的优越性。

主要实现

由于DP的本质就是记忆化搜索，我们通过记忆化搜索的方式实现动态规划。这种方式相比正面递推，在大多数情况下要简介一些。

一、搜索过程

以例题1 不要62为例。

首先，我们需要定义以下基本的变量与函数，它们是在所有数位DP中通用的：

int digit[maxn];
int dfs(int len,int fp,int str){
}

其中，\(digit[i]\)表示一个数在所有数位都取最大值的情况下，第\(i\)位的最大值。

---

而dfs函数中的\(len\)表示当前层我们还需处理多少数位。当\(len\)的值为\(-1\)时，则代表我们已经处理到了最低位。

---

fp则代表当前数位是否受到最高位的限制。举个例子，我们规定在一次运算中\(r\)的值为\(530\)。此时我们已经计算到了第2位。若前一位为\(5\)，则这一位最大也只能取\(3\)，否则会超出\(r\)的限制，此时fp的值为1；若前一位小于\(5\)，则当前位不受最高位的限制，我们可以取任意数字，则此时fp的值为0。

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str则代表当前状态，我们稍后再做解释。

---

这时，我们分析题面，发现：

• 限制条件只有一个，即不能出现62

因此，我们可以将这一限制条件填入已经设出的状态\(str\)中。当之前的数位中已经出现了62，我们就使其为1，否则我们使其为0。

这时，根据这一条件，就可以设出DP数组了

int dp[maxn][100];//表示在处理到第i位、之前的数位中出现/未出现62使的方案数。

不过此时，我们会发现一个问题：如果上一位出现了6，而是否出现62由当前位决定时，怎么办呢？因此，我们要对\(str\)的定义稍作更改。

我们令\(str\)表示：若上一位出现了\(6\)，则\(str=1\);若已经出现了\(62\)，则\(str=2\)；否则\(str=0\)。

此时，我们已经可以通过定义写下判断状态的子函数了。

int check(int str,int i){
    if(str==0){
        if(i==6)return 1;
        return 0;
    }
    else if(str==6){
        if(i==6)return 1;
        if(i==2)return 2;
        return 0;
    }
    return 2;
}

回过头来，我们再来继续完成dfs函数。

首先，写下当我们搜索到最后一位时的返回操作与记忆化搜索的返回操作。

int digit[maxn];
int dfs(int len,int fp,int str){
    if(len==-1)return str==2;
    if(!fp && dp[len][str])return dp[len][str];
    //条件中的!fp是对[l,r]取开区间。
}

接下来我们要做的是判断当前状态下我们能取到的最大数位。

int fpmax=fp?digit[len]:9;

接着我们再遍历搜索下一个数位，并返回答案。

int ret=0;//返回值
for(register int i=0;i<=fpmax;i++){
    ret+=dfs(len-1,fp && i==fpmax ,check(str,i));
}
return dp[len][str]=ret;

整个子函数的代码如下：

int dfs(int len,int fp,int str){
    if(len==-1)return str==2;
    if(!fp && ~dp[len][str])return dp[len][str];
    int fpmax=fp?digit[len]:9,ret=0;
    for(register int i=0;i<=fpmax;i++){
        ret+=dfs(len-1,fp && i==fpmax,check(str,i));
    }
    return dp[len][str][rel]=ret;
}

而例题1 不要62的代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
//#define local
using namespace std;
int dp[100][200][100],digit[100];
int check(int str,int i){
    if(str==0){
        if(i==6)return 1;
        return 0;
    }
    else if(str==6){
        if(i==6)return 1;
        if(i==2)return 2;
        return 0;
    }
    return 2;
}
int dfs(int len,int fp,int str){
    if(len==-1)return str==2;
    if(!fp && ~dp[len][str])return dp[len][str];
    int fpmax=fp?digit[len]:9,ret=0;
    for(register int i=0;i<=fpmax;i++){
        ret+=dfs(len-1,fp && i==fpmax,check(str,i));
    }
    return dp[len][str][rel]=ret;
}
int f(int n){
    int len=0;
    while(n){
        digit[len++]=n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(len-1,1,0);
}
signed main(){
	#ifdef local
	freopen("1.txt","r",stdin);
	#endif
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
    int a,b;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(cin>>b>>a){
    	//cout<<"-->"<<b<<endl;
        printf("%d\n",f(b)-f(a-1));
    }
    //cout<<f(1000)<<endl;
    return 0;
}

注意，在f函数中，可以看到我们首次dfs的代码是

dfs(len-1,1,0);

为什么\(len\)的值为总长度-1，而不是总长度本身呢？

因为这样我们处理到最后时\(len=-1\)而不是\(len=0\)

换句话说，只是笔者的习惯而已233333

细节-关于状态

事实上，不是所有时候DP数组都只用开二维。

在很多时候，我们都要在dfs函数中同时记录我们当前处理到的数是多少，例如例题2 B-number。

在这道题中，我们要处理我们记录的数是否能被13整除，因此我们要对DP数组作一点小小的微调。

int dp[maxn][5][20];

多出来的一维用于记录计算出来的数对13取模后的值。不记录其本身是因为空间限制，且失去了数位DP的优越性。

对于dfs中所处理的数的记录，不难想到用这样的方法：

int dfs(int len,int fp,int str,int rel){
    for(register int i=1;i<=9;i++)dfs(len-1,fp && i==digit[i],check(str,i),rel*10+i);
}

因此，对于例题2 B-number，我们的完整代码变成了这样：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
//#define local
using namespace std;
int dp[100][200][100],digit[100];
int check(int str,int i){//返回:0-->什么都没有，1-->已出现过1，2-->已出现过13
    if(str==0){
        if(i==1)return 1;
        return 0;
    }
    else if(str==1){
        if(i==1)return 1;
        if(i==3)return 2;
        return 0;
    }
    return 2;
}
int dfs(int len,int fp,int rel,int str){
	if(len==-1)return rel==0&&str==2;
    if(!fp && ~dp[len][str][rel])return dp[len][str][rel];
    int fpmax=fp?digit[len]:9,ret=0;
    for(register int i=0;i<=fpmax;i++){
        ret+=dfs(len-1,fp&&i==fpmax,(rel*10+i)%13,check(str,i));
    }
    return fp?ret:dp[len][str][rel]=ret;
}
int f(int n){
    int len=0;
    while(n){
        digit[len++]=n%10;
        n/=10;
    }
    return dfs(len-1,1,0,0);
}
signed main(){
	#ifdef local
	freopen("1.txt","r",stdin);
	#endif
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
    int b;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(cin>>b){
    	//cout<<"-->"<<b<<endl;
        printf("%d\n",f(b));
    }
    //cout<<f(1000)<<endl;
    return 0;
}

后记

数位dp虽然大多在套模板，但是里面的判断和细节还是很多的，多写几道数位dp之后才能发现其中的规律，完全将其掌握。