P5200 [USACO19JAN]Sleepy Cow Sorting

题目描述

Farmer John正在尝试将他的N头奶牛（1≤N≤10^5），方便起见编号为1…N，在她们前往牧草地吃早餐之前排好顺序。当前，这些奶牛以p1,p2,p3,…,pN的顺序排成一行，Farmer John站在奶牛p1前面。他想要重新排列这些奶牛，使得她们的顺序变为1,2,3,…,N，奶牛1在Farmer John旁边。

今天奶牛们有些困倦，所以任何时刻都只有直接面向Farmer John的奶牛会注意听Farmer John的指令。每一次他可以命令这头奶牛沿着队伍向后移动k步，k可以是1到N−1之间的任意数。她经过的k头奶牛会向前移动，腾出空间使得她能够插入到队伍中这些奶牛之后的位置。

例如，假设N=4，奶牛们开始时是这样的顺序：

FJ: 4, 3, 2, 1 唯一注意FJ指令的奶牛是奶牛4。当他命令她向队伍后移动2步之后，队伍的顺序会变成：

FJ: 3, 2, 4, 1 现在唯一注意FJ指令的奶牛是奶牛3，所以第二次他可以给奶牛3下命令，如此进行直到奶牛们排好了顺序。

Farmer John急欲完成排序，这样他就可以回到他的农舍里享用他自己的早餐了。请帮助他求出一个操作序列，使得能够用最少的操作次数将奶牛们排好顺序。

输入格式

输入的第一行包含N。第二行包含N个空格分隔的整数：p1,p2,p3,…,pN，表示奶牛们的起始顺序。

输出格式

输出的第一行包含一个整数，K，为将奶牛们排好顺序所需的最小操作次数。第二行包含K个空格分隔的整数，c1,c2,…,cK，每个数均在1…N−1之间。如果第i次操作FJ命令面向他的奶牛向队伍后移动ci步，那么K次操作过后奶牛们应该排好了顺序。

如果存在多种最优的操作序列，你的程序可以输出其中任何一种。

输入输出样例

输入 #1

4

1 2 4 3

输出 #1

3

2 2 3

分析

这题其实不难……感谢机房大佬分析orz

可依据插入排序的思想，已知对于一个长度为n的序列，最多移动n次可做到由小到大排序。而对于一个上升的序列，很显然是不必要进行排序的，所以实际的最小移动次数可以更小。根据这一发现，可模拟题中的情况进行分析。

对于1 2 4 3的情况，依据上面的想法，更改情况为：1 2 4 3——2 4 3 1——4 3 1 2——3 1 2 4——1 2 3 4，即进行了4次修改，而正确答案是3次。为什么呢？比对输出的数据，我们发现序列中的3其实是不必更换位置的，因为它是序列末尾的上升子序列中的元素。

由于本题中必须是更改序列的第一个数，所以分析序列末的数字，只要上升的就一定不必要更改，因为只要前面的数字插入它们就好了。

例如题目中的1 2 4 3。序列末的上升子序列是3，所以3是肯定不会有更改的。

其他例子：4 6 7 2 5 9.序列末的上升子序列是2 5 9，所以这三个数字的位置肯定不会更改。

这就得到了输出的第一行，我们只要记录序列末上升子序列的长度len，再记ans=n-len并输出就好了。

得到了哪些元素需要修改哪些元素不需要修改后，就可以开始考虑怎样插入，移动几位了。

依旧对于序列4 6 7 2 5 9，考虑第一位4，我们可以首先将它放在2 5 9这组数据的前面，再考虑插入到哪一位（实际上是一个步骤）。前一个步骤可得到答案应当是ans-i，可是对于另开一个数组线性地搜索，这种解法显然不够优。我们可以考虑利用树状数组优化常数。

将2 5 9加入树状数组（注意是对其数值加一，即应当是 add(a[i],);， )，所以只要搜索 sum(a[i]-); 就可以了。

对于后面的元素也是一样的处理。得到最终的输出 printf("%d ",ans-i+sum(a[i]-)); 。输出完后继续将数据加入树状数组。

代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=1e5+;

int n,a[N];

int ans=;

int c[N];

int lowbit(int x)

{

    return x&(-x);

}

void add(int x,int v)

{

    while(x<=n)

    {

        c[x]+=v;

        x+=lowbit(x);

    }

}

int sum(int x)

{

    int res=;

    while(x)

    {

        res+=c[x];

        x-=lowbit(x);

    }

    return res;

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=;i<=n;++i)

        scanf("%d",&a[i]);

    for(int i=n-;i>=;--i)

        if(a[i]<a[i+])    ++ans;

        else    break;//记录序列末上升子序列长度

    printf("%d\n",n-ans);

    for(int i=n;i>n-ans;--i)

        add(a[i],);//构建树状数组

    for(int i=;i<=n-ans;++i)

    {

        printf("%d ",n-ans-i+sum(a[i]-));//得到移动次数

        add(a[i],);//不要忘记加入树状数组！

    }

    return ;

}