石子合并(NOI1995)题解
题目描述
在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.
输入输出格式
输入格式:
数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.
输出格式:
输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.
1995的NOI题目,然而却是一道非常水的区间DP。
区间DP,顾名思义,求区间最值问题。通过小区间来更新大区间,最后逐渐更新出答案。
区间DP常用枚举套路:
for(int len = ;len<=n;len++)
{
for(int i = ;i+len-<=n;i++)
{
int j = i+len-;
dp[i][j] = ...
}
}
外层枚举长度,下一层枚举初始端点,终点通过长度+起点-1枚举出来,需要注意的是起点枚举范围是i+len-1,也就是终点要在区间长度以内。
继续说这道题目。
大区间一定是通过小区间合并出来的,这也是我们使用区间DP的原因。但是这道题并不是一条链上的石子,而是一个环。也就是说我们有可能在最后一个石子回头,与前面的石子合并。
那我们只需要把原来的链的长度变成二倍(除了最后一位),而枚举长度仍然是一倍的长度不就好了?
举个例子:
2,3,4,5
我们可以把它变成2,3,4,5,2,3,4
枚举的时候仍然是4的长度。这样就完美的处理了链的情况。
接下来是状态转移方程。
不知道有没有同学会和我开始时候有一样的错觉,全部合并到一起不就是所有的值相加吗?
然而并不是这样的,当一个区间与另一个区间合并时,原来的区间的数被算了两次。
再举个栗子。
[1,2] 与[2,3]合并
前者合并之后是3,后者是5
这样在合并一次就是3+5+8
相当于1+2+2+3+1+2+2+3
虽然这个结论是错的,但是我们从中可以得到一个结论,每次合并的时候,区间内的所有值都会被再次算一遍。
所以要预处理前缀和。
接下来说方程。
dp[i][j]表示把[i][j]中的石子合并成一堆所需要的费用。
[i][j]之间我们可以选择任意一个点,把这个区间分成两段,通过这两段合并成这一段区间。
所以
dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j],dpmax[i][k-]+dpmax[k][j]+before[j]-before[i-]);
dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j],dpmin[i][k-]+dpmin[k][j]+before[j]-before[i-]);
before代表前缀和
每个点的初始值就是它自己的花费。
最后上代码。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int num[];
int before[];
int dpmax[][];
int dpmin[][];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = ;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&num[i]);
num[n+i] = num[i];
before[i] = before[i-]+num[i];
}
for(int i = n+;i<=*n-;i++)
{
before[i] = before[i-]+num[i];
}
memset(dpmin,0x3f,sizeof(dpmin));
memset(dpmax,-,sizeof(dpmax));
for(int i = ;i<=*n-;i++)
{
dpmin[i][i] = ;
dpmax[i][i] = ;
}
for(int len = ;len<=n;len++)
{
for(int i = ;i+len-<=*n-;i++)
{
int j = i+len-;
for(int k = i+;k<=j;k++)
{
dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j],dpmax[i][k-]+dpmax[k][j]+before[j]-before[i-]);
dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j],dpmin[i][k-]+dpmin[k][j]+before[j]-before[i-]);
}
}
}
int ma = -;
int mi = ;
for(int i = ;i<=n;i++)
{
ma = max(ma,dpmax[i][i+n-]);
mi = min(mi,dpmin[i][i+n-]);
}
printf("%d\n%d",mi,ma);
return ;
}
/*
3
1 2 3
*/
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