Comet OJ 计算机（computer）

Comet OJ 计算机（computer）

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题目描述

小 X 有一台奇怪的计算机。

这台计算机首先会读入一个正整数 nn，然后生成一个包含 nn 个数的序列 aa。

一开始 a_i(1 \le i \le n)a**i(1≤i≤n) 的值均为 11。

接下来，小 X 会进行 n-1n−1 次操作，每次操作会输入一个指令，这个指令有 22 种情况：

1. x +表示把此时序列中第 xx 个数 a_xa**x 和第 x+1x+1 个数 a_{x+1}a**x+1 合并为一个数，值为 a_x + a_{x+1}a**x+a**x+1。
2. x *表示把此时序列中第 xx 个数 a_xa**x 和第 x+1x+1 个数 a_{x+1}a**x+1 合并为一个数，值为 a_x \times a_{x+1}a**x×a**x+1。

假设某个时刻序列中元素的个数为 kk，小 X 必须保证 1 \le x < k1≤x<k。

那么，经过 n-1n−1 次操作后，序列只剩下了一个数，此时计算机会输出这个数。

小 X 想知道，当他输入 nn 时，这台计算器输出的数最大会是多少。

由于这个数可能会很大，你只需要求出这个数模 10^9+7109+7 的值。

输入描述

一行一个正整数 nn。

输出描述

一行一个整数，表示答案对 10^9+7109+7 取模后的值。

样例输入 1

6

样例输出 1

9

样例解释 1

一开始的序列为1 1 1 1 1 1。

小 X 的操作指令如下：

1.1 +序列变为2 1 1 1 1；

2.1 +序列变为3 1 1 1；

3.2 +序列变为3 2 1；

4.2 +序列变为3 3；

5.1 *序列变为9。

可以证明没有操作指令可以使计算机输出的数大于 99。

样例输入 2

37

样例输出 2

708588

提示

【数据范围与提示】

对于 10%10% 的数据，1 \le n \le 21≤n≤2。

对于 25%25% 的数据，1 \le n \le 101≤n≤10。

对于 40%40% 的数据，1 \le n \le 1001≤n≤100。

对于 55%55% 的数据，1 \le n \le 10001≤n≤1000。

对于 70%70% 的数据，1 \le n \le 10^61≤n≤106。

对于 85%85% 的数据，1 \le n \le 10^91≤n≤109。

对于 100%100% 的数据，1 \le n \le 10^{18}1≤n≤1018。

题解：

一道数学题。

我喜欢把这种题叫做数列操作题。一般来讲，这种题不是DP就是数学推导。针对于这道题来讲，我们无法设计DP，只能使用我们的脑袋瓜子进行数学问题的分析和推导。

首先，我们初始的数列全都是1，我们在此基础上进行数列合并操作。那么题意可以转化为，给定\(n\)，让你把\(n\)分解成若干个整数，使得其乘积最大。

然后我们进行模拟拆分，我们会发现，针对一个1 1 1 1的串，我们可以直接把它合成4，也可以把它拆成\(2\times 2\)，最后也得4。但是，如果针对一个长度比4还大的串，比如1 1 1 1 1，我们如果直接加的话，就是5，而进行合并成\(2\times 3\)的话，就会出现6的答案。也就是说，针对一个全由1组成的串中长度大于4的字串，我们把它拆成由一群2和一群3的乘积的做法对后来的答案总是贡献最大的。

也就是说，原题的目的就可以被我们搞成\(2^a\times 3^b\).我们很容易得出，拆出的3越多越好。

这样的话，我们用\(n\)模3，如果余数为0，那么就直接输出\(3^{\frac{n}{3}}\).如果余数为1，那么我们就拆成\(2\times 2\times 3^{\frac{n-4}{3}}\)，如果余数为2，就直接拆成\(2\times 3^{\frac{n-2}{3}}\)。

注意特盘答案为1和指数为1的情况，记得每一步都要取模，以及开Longlong，本题可A/

求幂的操作一定要用快速幂，要不然肯定会T啊。

如果不会快速幂的话...

请参考以下的博客：

浅谈快速幂

代码如下：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
ll n;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    if(!b)
        return 1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret=(ret*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1)
    {
        printf("1");
        return 0;
    }
    if(n%3==0)
    {
        ll p=n/3;
        printf("%lld",qpow(3,p));
    }
    else if(n%3==1)
    {
        ll p=(n-4)/3;
        printf("%lld",(4*qpow(3,p))%mod);
    }
    else
    {
        ll p=(n-2)/3;
        printf("%lld",(2*qpow(3,p))%mod);
    }
    return 0;
}