[ HNOI 2006 ] 公路修建问题

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\(Description\)

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一个\(N\)个点\(M\)条边的图，每条边可以选择\(w_i,p_i\)两个边权之一，现求一个生成树上的最大边权最小值，要求这棵生成树上至少有\(K\)条边选择的是\(w_i\)权值。\(Luogu\)上还要以"选了哪些编号的边，每条边选择的是哪种权值"的形式求输出方案。

• \(N\in [1,10^4]\)，\(M\in [0,2\times 10^4]\)，\(K\in [0,N-1]\)，\(w_i,p_i\in [1,3\times 10^4]\)

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\(Solution\)

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• 最小生成树变形。先将边按照\(w_i\)排序，按照\(kruskal\)的方式连上\(K\)条边，再按照\(min(w_i,p_i)\)排序，连完剩下的所有边，注意第一遍连上的边要打上标记，避免使用了两次。答案即为所有连过的边中边权最大值，还要注意处理\(K=0\)和\(K=N-1\)的两种情况。
• 关于输出方案，每次记录一下就好，注意第二遍扫描的时候也可能取第一类权值。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 10010
#define M 20010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,m,k,cnt,res,tot;

struct edge{int x,y,w1,w2,num;}e[M];

struct result{int p,x;}ans[N];

inline bool cmp1(edge x,edge y){return x.w1<y.w1;}

inline bool cmp2(edge x,edge y){return min(x.w1,x.w2)<min(y.w1,y.w2);}

inline bool cmp3(result x,result y){return x.p<y.p;}

struct UFS{
  int f[N];
  UFS(){for(R int i=1;i<N;++i) f[i]=i;}
  int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
  inline void merge(int x,int y){f[find(x)]=find(y);}
  inline bool judge(int x,int y){return find(x)==find(y);}
}ufs;

int main(){
  n=rd(); k=rd(); m=rd()-1;
  for(R int i=1;i<=m;++i){
    e[i].x=rd(); e[i].y=rd();
    e[i].num=i; e[i].w1=rd(); e[i].w2=rd();
  }
  if(m){
    sort(e+1,e+1+m,cmp1);
    for(R int i=1;i<=m;++i)
      if(!ufs.judge(e[i].x,e[i].y)){
          ufs.merge(e[i].x,e[i].y);
          ans[++tot].p=e[i].num; ans[tot].x=1;
          res=max(res,e[i].w1); if((++cnt)==k) break;
      }
  }
  if(cnt<n-1){
    sort(e+1,e+1+m,cmp2);
    for(R int i=1;i<=m;++i)
      if(!ufs.judge(e[i].x,e[i].y)){
          ufs.merge(e[i].x,e[i].y);
          ans[++tot].p=e[i].num;
          if(e[i].w1<e[i].w2){ans[tot].x=1;res=max(res,e[i].w1);}
          else{ans[tot].x=2;res=max(res,e[i].w2);}
      }
  }
  printf("%d\n",res);
  sort(ans+1,ans+1+tot,cmp3);
  for(R int i=1;i<=tot;++i) printf("%d %d\n",ans[i].p,ans[i].x);
  return 0;
}