青蛙的约会

以前不止一次看过这个题,但都没有去补。。好吧,现在慢慢来做。

友情提示:先学扩展欧几里德算法在来看效果更好哟!

题意:两只青蛙在一个总长为L的环上,初始位置分别在x,y点,他们同时同向起跳,起跳都是同步的,速度分别是m,n。求跳多少次后才会相遇。

思路:会欧几里德算法的话简单分析一下就是裸模板了。但这题确实花了很多时间。

我们来分析一下这题:我们知道最终位置是在同一点相遇,于是假设跳了s次(两只青蛙都是同时同步跳),那么就有(x+s*m)%L=(y+s*n)%L,即同余式:(x+s*m)=(y+s*n)%L,拆分一下即:s*(m-n)=(y-x)%L,即:s*(n-m)+k*L=x-y;这不就是ax+by=c;我们判断gcd(a,b)是否整除c即可,若不整除则“impossible\n”。反之--------------------我们用扩展欧几里德求出来的x0,y0是符合a*x0+b*y0=gcd(a,b)的,即上式s0*(n-m)+k0*L=gcd(n-m,L);那么原式s*(n-m)+k*L=x-y中的s=s0*((n-m)/gcd(n-m,L))。

理解了以上,代码也就好写了,但小菜还有一点不明白答案s为什么要先取余L再加上L再取余L.....

const int N=1e6+10;
ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(a==0&&b==0) return -1;
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll d=e_gcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main()
{
ll x,y,n,m,l;
while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l))
{
ll d=x-y;
ll s,t;
ll ans=e_gcd(n-m,l,s,t);
if(d%ans) printf("Impossible\n");
else printf("%I64d\n",(s*(d/ans)%l+l)%l);
}
return 0;
}

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