BZOJ_2017_[Usaco2009 Nov]硬币游戏_博弈论+DP

Description

农夫约翰的奶牛喜欢玩硬币游戏,因此他发明了一种称为“Xoinc”的两人硬币游戏。 初始时,一个有N(5 <= N <= 2,000)枚硬币的堆栈放在地上,从堆顶数起的第I枚硬币的币值为C_i (1 <= C_i <= 100,000)。 开始玩游戏时,第一个玩家可以从堆顶拿走一枚或两枚硬币。如果第一个玩家只拿走堆顶的一枚硬币,那么第二个玩家可以拿走随后的一枚或两枚硬币。如果第一个玩家拿走两枚硬币,则第二个玩家可以拿走1,2,3,或4枚硬币。在每一轮中,当前的玩家至少拿走一枚硬币,至多拿走对手上一次所拿硬币数量的两倍。当没有硬币可拿时,游戏结束。 两个玩家都希望拿到最多钱数的硬币。请问,当游戏结束时,第一个玩家最多能拿多少钱呢?

Input

第1行:1个整数N

第2..N+1行:第i+1行包含1个整数C_i

Output

第1行:1个整数表示第1个玩家能拿走的最大钱数。

Sample Input

5
1
3
1
7
2

Sample Output

9

HINT

样例说明:第1个玩家先取走第1枚,第2个玩家取第2枚;第1个取走第3,4两枚,第2个玩家取走最后1枚。


设f[i][j]表示还剩i枚硬币,上一个人拿了j枚硬币,到最后的最大收益。

先手后手转移相同,f[i][j]=f[i-k][k] (k<=min(2*j,i)),直接DP是$O(n^3)$的。

发现每次j增加时对k的影响只有2*j-1和2*j,再判断一下与i的关系即可。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2050
int f[N][N],n,s[N],a[N];
int main() {
scanf("%d",&n);
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
for(i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i+1]+a[i];
for(i=1;i<=n;i++) {
for(j=1;j<=n;j++) {
f[i][j]=f[i][j-1];
if(2*j-1<=i) f[i][j]=max(f[i][j],s[n-i+1]-f[i-(2*j-1)][2*j-1]);
if(2*j<=i) f[i][j]=max(f[i][j],s[n-i+1]-f[i-2*j][2*j]);
}
}
printf("%d\n",f[n][1]);
}

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