[BZOJ4899]:记忆的轮廓(概率DP)
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题解
设f[i]表示正确节点i走到n的期望步数,显然f[n]=0,我们倒着递推。
$ f[i]=1+ \frac{1}{d[i]} ×f[i+1]+ \frac{1}{d[i]}× \sum g[j]+f[i] $[j是i的错误儿子]
引用:移项得f[i]=d[i]+f[i+1]+s[i]
引用:复杂度线性。
首先我们需要预处理一个a[i,j],表示存档点为i,从i开始走到正确节点j的期望步数(中间不能存档)。
显然有边界条件a[i,i]=0。对于i<j,可以列出递推式:
a[i,j]=a[i,j-1]+1+1/d[j-1]*∑{g[k]+a[i,j]}[k是j-1的错误儿子]
引用:移项得a[i,j]=a[i,j-1]*d[j-1]+d[j-1]+s[j-1]
引用:可以用n^2的时间预处理a,然后做dp就很好转移了。
枚举下一次的存档点k,那么f[i,j]可以由f[k,j-1]+a[i,k]转移而来。
引用:复杂度O(n2p)
我们来估计答案的上界。考虑一种可行方案,每n/p个正确节点就设立一次存档位置,那么答案最大是多少呢?考虑最坏情况,观察a的转移,应该每变 换一次存档点,大约需要3(n/p)*s[i]+3(n/p-1)*s[i+1]+3(n/p-2)*s[i+2]+……
引用:因为最多m个节点,s的上限是1500(实际上也远远达不到),把所有s都视为这个上限,提取公因数,计算一下那个等比数列求和,由于p是有下界的, 因此n/p有上界14,发现最后也就是个12位数的样子,那么我们估计出答案最大也不会超过这个,可以放心做了。而至于a会爆炸的问题,double是可以 存很多位的,而且太大的a肯定不可能被用上。
那么其实,针对答案不会特别大,a的增长又很恐怖,我们还可以思考对70%的算法优化。那就是设定一个常数step,每次转移最多从距当前step步远的 位置转移过来。step取40多基本不会有问题了,因为a的下界已经是2^40了,而答案的上界远远没有达到,经过精确计算还可以再把step调小一点。
引用:复杂度O(np log ans)
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
int nxt;
int to;
}e[5000];
int head[5000],cnt;
int n,m,p;
double g[5000],s[5000],dp[5000];
bool vis[5000];
int du[5000];
void pre_work()//多测不清空,爆零两行泪……
{
memset(head,0,sizeof(head));
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(g,0,sizeof(g));
memset(s,0,sizeof(s));
memset(du,0,sizeof(du));
cnt=0;
}
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].nxt=head[x];
e[cnt].to=y;
head[x]=cnt;
}
void dfsgetG(int x)//计算g数组
{
vis[x]=1;
g[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
dfsgetG(e[i].to);
g[x]+=g[e[i].to]*1.0/(double)du[x];
}
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
pre_work();
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n-1;i++)du[i]=1;//1-(n-1)中,每一个节点都要加上它到下一个正确节点的边
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
du[a]++;
add(a,b);
}
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
if(vis[i])continue;
dfsgetG(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt)
s[i]+=g[e[j].to];//计算s数组
for(int i=n-1;i;i--)//倒推计算答案
dp[i]=dp[i+1]+du[i]+s[i];
cout<<fixed<<setprecision(4)<<dp[1]<<endl;//保留小数输出
}
return 0;
}
70%代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
int nxt;
int to;
}e[2000];
int head[2000],cnt;
int n,m,p;
double g[2000],s[2000],dp[2000][2000],Map[2000][2000];
bool vis[2000];
int du[2000];
void pre_work()
{
for(int i=0;i<=1;i++)e[i].nxt=e[i].to=0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(dp,127,sizeof(dp));
memset(g,0,sizeof(g));
memset(s,0,sizeof(s));
memset(du,0,sizeof(du));
memset(Map,0,sizeof(Map));
memset(vis,0,sizeof(vis));
cnt=0;
}
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].nxt=head[x];
e[cnt].to=y;
head[x]=cnt;
}
void dfsgetG(int x)
{
vis[x]=1;
g[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
dfsgetG(e[i].to);
g[x]+=g[e[i].to]*1.0/(double)du[x];
}
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
pre_work();
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n-1;i++)du[i]=1;
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
du[a]++;
add(a,b);
}
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
if(vis[i])continue;
dfsgetG(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt)
s[i]+=g[e[j].to];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
Map[i][j]=(Map[i][j-1]+1)*(double)du[j-1]+s[j-1];//计算a数组
dp[n][1]=0;//dp初始
for(int j=2;j<=p;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=i+1;k<=n;k++)
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+Map[i][k]);
cout<<fixed<<setprecision(4)<<dp[1][p]<<endl;
}
return 0;
}
100%算法:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
int nxt;
int to;
}e[2000];
int head[2000],cnt;
int n,m,p;
double g[2000],s[2000],dp[2000][2000],Map[2000][2000];
bool vis[2000];
int du[2000];
void pre_work()
{
for(int i=0;i<=1;i++)e[i].nxt=e[i].to=0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(dp,127,sizeof(dp));
memset(g,0,sizeof(g));
memset(s,0,sizeof(s));
memset(du,0,sizeof(du));
memset(Map,0,sizeof(Map));
memset(vis,0,sizeof(vis));
cnt=0;
}
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].nxt=head[x];
e[cnt].to=y;
head[x]=cnt;
}
void dfsgetG(int x)
{
vis[x]=1;
g[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
dfsgetG(e[i].to);
g[x]+=g[e[i].to]*1.0/(double)du[x];
}
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
pre_work();
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n-1;i++)du[i]=1;
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
du[a]++;
add(a,b);
}
for(int i=n+1;i<=m;i++)
{
if(vis[i])continue;
dfsgetG(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt)
s[i]+=g[e[j].to];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
Map[i][j]=(Map[i][j-1]+1)*(double)du[j-1]+s[j-1];
dp[n][1]=0;
for(int j=2;j<=p;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=i+1;k<=min(n,i+12);k++)//优化上界
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+Map[i][k]);
cout<<fixed<<setprecision(4)<<dp[1][p]<<endl;
}
return 0;
}
rp++
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