URAL 1057 Amount of Degrees （数位DP，入门）

题意：

　　求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于K个互不相等的，B的整数次幂之和。例如，设X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足了要求：  17 = 2⁴+2⁰， 18 = 2⁴+2¹， 20 = 2⁴+2²。(以B为底数，幂次数不允许相同)

　　参考论文--》》论文中的题。

思路：

　　论文倒是容易看明白，但是这个转成B进制的思想一直转不过来。其实转成B进制后变成 a₁*Bⁿ+a₂*B^n-1...a_n*B⁰。其中a_i是系数。范围是[0,B-1]。但是看了论文知道，里面画的那棵01树（树上的01就是代表系数a），只有从根走到叶子，经过的1的个数为K才是满足要求的。那么如果a大于0怎么办？那么从树上该点开始的整棵子树就可以全部进行考虑了。而如果刚好考虑的位为1的呢？那么取该位为0的那棵子树就行了。

　　两种实现

 //#include <bits/stdc++.h>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x7f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const double PI  = acos(-1.0);
 const int N=; //注意大小

 int f[N][N];

 void pre_cal()  //预处理组合数
 {
     f[][]=;
     for(int i=; i<N; i++) //位数
     {
         f[i][]=f[i][i]=;
         for(int j=; j<i; j++) //多少个1
         {
             f[i][j]=f[i-][j]+f[i-][j-];
         }
     }
 }

 int bit[N];
 int cal(int n,int k,int b)
 {
     memset(bit, , sizeof(bit));
     int len=, cnt=, ans=;
     while(n)    //转成b进制
     {
         bit[++len]=n%b;
         n/=b;
     }
     for(int i=len; i>; i--)
     {
         if(bit[i]>)
         {
             ans+=f[i][k-cnt];   //取整棵子树
             break;
         }
         else if( bit[i]== )
         {
             ans+=f[i-][k-cnt]; //统计左边的
             if(++cnt>k)   break;  //已超
         }
     }
     if(cnt==k)  ans++;
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     pre_cal();
     int x, y, k, b;
     while(~scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&k,&b))
         printf("%d\n", cal(y,k,b)-cal(x-,k,b));
     return ;
 }

AC代码

 //#include <bits/stdc++.h>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x7f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const double PI  = acos(-1.0);
 const int N=;

 int f[N][N];
 void pre_cal()  //预处理组合数
 {
     f[][]=;
     for(int i=; i<N; i++) //位数
     {
         f[i][]=f[i][i]=;
         for(int j=; j<i; j++) //多少个1
         {
             f[i][j]=f[i-][j]+f[i-][j-];
         }
     }
 }
 int bit[N];
 int cal(int n,int k,int b)
 {
     memset(bit, , sizeof(bit));
     int len=, cnt=, ans=, flag=;
     while(n)    //转成b进制
     {
         bit[++len]=n%b;
         n/=b;
         if(bit[len]>)  flag=;
     }

     if(flag==)
     {
         //找到第一位大于1的，改为1，然后后面可以全部改成1了
         for(int i=len; i>; i--)
             if(bit[i]>)
             {
                 for(int j=i; j>; j--)    bit[j]=;
                 break;
             }
     }

     for(int i=len; i>; i--)
     {
         if( bit[i] )
         {
             ans+=f[i-][k-cnt]; //统计左边的
             if(++cnt>k)   break;  //已超
         }
     }
     if(cnt==k) ans++;
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     pre_cal();
     int x, y, k, b;
     while(~scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&k,&b))
         printf("%d\n", cal(y,k,b)-cal(x-,k,b));
     return ;
 }

AC代码