CSA Round 84 Mahattan Center

题目

题目大意

给定平面上的 $n$ 个点和常数 $k$，求 $x$ 轴上的点 $p$ 到 $n$ 个点中距其最近的 $k$ 个点的距离之和的最小值。两点之间的距离定义为曼哈顿距离。

数据范围

$1\le k \le n \le 10^5$ 。

点的坐标是 $1$ 到 $10^8$ 之间的整数。

可能有重合的点。

分析

A optimization problem can have many possible solutions. Each solution has a value, and we wish to find a solution with the optimal (minimum or maximum) value. We call such a solution an optimal solution, as opposed to the optimal solution, since there may be several solutions that achieve the optimal value.

对于这种类型的最优化问题（optimization problems），思考的大方向是「降低问题的自由度」。
具体地说，找决策空间 $U$（或者称之为「状态空间」）的一个子集 $S$，使得 $S$ 满足：

• 可以在 $S$ 中找到一个最优解
• $S$ 中元素较少，遍历 $S$ 找最优解是可行的

如果已经选定 $k$ 个点，要在 $x$ 轴上找一点 $p$ 使得 $p$ 到这 $k$ 个点的曼哈顿距离之和最小。这个问题相当于

给定 $x$ 轴上的 $k$ 个点，在 $x$ 轴上找一点 $p$ 使得 $p$ 到这 $k$ 个点的距离之和最小。

这是一个经典问题，解是这 $k$ 的点的中位点（median）。奇数个点的中位点是中间的那个点，偶数个点的中位点是中间的两个点之间的线段上的任意一点（包括两端点）。

回到原问题，从上面的分析可以得到一个算法：枚举最优解中 $k$ 个点的横坐标的中位点。

将给定的 $n$ 个点构成的（可重）集合记做 $P$，
注意到对于 $n$ 个点中的任意 $k$ 个点，必然存在点 $p \in P$ 使得 $p$ 的横坐标是选出的 $k$ 个点的横标做的中位点。

所以我们只需要枚举点的横坐标即可。

将 $n$ 个点按横坐标从小到大排序，依次记为 $p_1, p_2, \dots, p_n$，设第 i 个点的坐标为 $(x_i , y_i)$ 。
令 $L_i $ 为 $p_1, p_2, \dots, p_{i-1}$ 中距 $(x_i,0)$ 最近的 $\lfloor n/2 \rfloor$ 个点与 $(x_i, 0)$ 的距离之和，$R_i$ 表示 $p_i, p_{i+1}, \dots, p_n$ 中距 $(x_i, 0)$ 最近 $(x_i, 0)$ 最近的 $n - \lfloor n/2 \rfloor$ 个点与 $(x_i, 0)$ 的距离之和。

答案即 $\min_{1\le i \le n} L_i + R_i$

参考实现

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### Observation I

点 $p$ 到 $k$ 个最近点的距离之和一定可以在 $p$ 的横坐标取为 $n$ 个点中某个点的横坐标时取到。

### Observation II