LeetCode（172）Factorial Trailing Zeroes

题目

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

Credits:

Special thanks to @ts for adding this problem and creating all test cases.

分析

题目描述：给定一个整数n，求对于n!末尾0的个数。

开始看到的时候并没有什么思路，只知道n!=1∗2∗3∗...∗n

那么末尾0是怎么产生的呢，必然是 质因数 2∗5而导致的结果 ， 又搜索了网上一些资料：

对n!做质因数分解n!=2x∗3y∗5z∗...

显然0的个数等于min(x,z)，并且min(x,z)==z

证明：

对于阶乘而言，也就是1∗2∗3∗...∗n

[n/k]代表1−n中能被k整除的个数

那么很显然

[n/2]>[n/5](左边是逢2增1，右边是逢5增1)

[n/22]>[n/52](左边是逢4增1，右边是逢25增1)

……

[n/2p]>[n/5p](左边是逢2p增1，右边是逢5p增1)

随着幂次p的上升，出现2p的概率会远大于出现5p的概率。

因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是n!质因数分解中，2的次幂一定大于5的次幂

此时，便很明了了，结果可以表示为：

n!后缀0的个数 = n!质因子中5的个数 = floor(n/5)+floor(n/25)+floor(n/125)+....

AC代码

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        while (n)
        {
            count += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return count;
    }
};