算法分析-堆排序 HeapSort 优先级队列
堆排序的是集合了插入排序的单数组操作,又有归并排序的时间复杂度,完美的结合了2者的优点。
堆的定义
n个元素的序列{k1,k2,…,kn}当且仅当满足下列关系之一时,称之为堆。
情形1:ki <= k2i 且ki <= k2i+1 (最小化堆或小顶堆)
情形2:ki >= k2i 且ki >= k2i+1 (最大化堆或大顶堆)
其中i=1,2,…,n/2向下取整;
若将和此序列对应的一维数组(即以一维数组作此序列的存储结构)看成是一个完全二叉树,则堆的含义表明,完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于(或不小于)其左、右孩子结点的值。
由此,若序列{k1,k2,…,kn}是堆,则堆顶元素(或完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值(或最大值)。
例如,下列两个序列为堆,对应的完全二叉树如图:
若在输出堆顶的最小值之后,使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆,则得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列,这个过程称之为堆排序。
堆排序(Heap Sort)只需要一个记录元素大小的辅助空间(供交换用),每个待排序的记录仅占有一个存储空间。
堆的存储
一般用数组来表示堆,若根结点存在序号0处, i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。
(注:如果根结点是从1开始,则左右孩子结点分别是2i和2i+1。)
如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
如最大化堆如下:
左图为其存储结构,右图为其逻辑结构。
堆排序的实现
实现堆排序需要解决两个问题:
1.如何由一个无序序列建成一个堆?
2.如何在输出堆顶元素之后,调整剩余元素成为一个新的堆?
先考虑第二个问题,一般在输出堆顶元素之后,视为将这个元素排除,然后用表中最后一个元素填补它的位置,自上向下进行调整:首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较,把最小的元素交换到堆顶;然后顺着被破坏的路径一路调整下去,直至叶子结点,就得到新的堆。
我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。
从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。
构造初始堆
初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。
最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整,所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始,从后往前进行调整。
比如,给定一个数组,首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。
然后从最后一个非叶子结点开始,每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换,交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质,所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。
进行堆排序
有了初始堆之后就可以进行排序了。
堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
排序开始,首先输出堆顶元素(因为它是最值),将堆顶元素和最后一个元素交换,这样,第n个位置(即最后一个位置)作为有序区,前n-1个位置仍是无序区,对无序区进行调整,得到堆之后,再交换堆顶和最后一个元素,这样有序区长度变为2。。。
不断进行此操作,将剩下的元素重新调整为堆,然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1,有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1,排序完成。
堆排序实例
首先,建立初始的堆结构如图:
然后,交换堆顶的元素和最后一个元素,此时最后一个位置作为有序区(有序区显示为黄色),然后进行其他无序区的堆调整,重新得到大顶堆后,交换堆顶和倒数第二个元素的位置……
重复此过程:
最后,有序区扩展完成即排序完成:
由排序过程可见,若想得到升序,则建立大顶堆,若想得到降序,则建立小顶堆。
代码
假设排列的元素为整型,且元素的关键字为其本身。
因为要进行升序排列,所以用大顶堆。
根结点从0开始,所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。
//将父节点的值和最大值交换
Array.prototype.swap = function (i, j) {
var temp = this[i];
this[i] = this[j];
this[j] = temp;
}; //生成以i为根节点的最大堆
Array.prototype.MAX_HEAPTIFY = function (i) {
var largest = i;
var left = i * 2 + 1; //左孩子节点坐标
var right = i * 2 + 2; //右孩子节点坐标 if (left < heap_size && this[left] > this[largest]) { //这其实是一个剪枝的过程,因为heap_size后面都是排序好的。
largest = left;
}
if (right < heap_size && this[right] > this[largest]) {
largest = right;
}
if (largest !== i) {
this.swap(i, largest);
arguments.callee.call(this, largest);
}
}; //生产堆
Array.prototype.BUILD_HEAP = function () {
var lastP = Math.floor(this.length / 2) - 1; //最后一个非叶子节点。
for (var k = lastP; k >= 0; k--) {
this.MAX_HEAPTIFY(k);
}
}; //主程序
Array.prototype.HEAP_SORT = function () {
this.BUILD_HEAP(); //生成最大堆
for (var i = this.length - 1; i > 0; i--) {
this.swap(0, i); //将最大的数即第一个元素放到最后。
heap_size = i;
this.MAX_HEAPTIFY(0);
}
}; var A = [3, 4, 5, 1, 2, 6, 8, 3];
var heap_size = A.length; //包括heap_size在内的后面的坐标,都是排序好的。
A.HEAP_SORT();
console.log(A);
如果对上诉描述还是不清楚,下面给出算法导论里的习题,方面大家一步步更深的理解:
习题一:当A[i]比其两子女都大的时候,调用MAX-HEAPIFY(A,i)的效果是怎么样?
答案:其实没变化的,我们可以看最后的if(largest!=i),才会递归下去,不然不变。这是算法导论里的伪代码:
习题二:对i>heap-size[A]/2,调用MAX-HEAPIFY(A,i)会怎么样?
分析:我们知道heap-size[A]后面都是排好序的,那heap-size[A]/2的位置便是最后一个非叶子节点,
当i>heap−size[A]/2,结点为叶子结点没有孩子,所以不会有任何改变。
习题三:MAX-HEAPIFY效率虽然高,但是第十行,可能导致某些编译程序产生出低效的代码,请把递归改成迭代:
Max-Heapify(A, i)
while true
l = Left(A, i)
r = Right(A, i)
if l <= A.heap-size and A[l] > A[i]
largest = l
else
largest = i
if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]
largest = r
if largest != i
swap A[i] with A[largest]
i = largest
else
break
整个堆排序的算法:
到此为止,堆排序已经全部讲解完了,我们发现核心的函数就MAX-HEAPTITY,他的时间复杂度其实是和这个二叉树的高度成正比的,我们可以认为是O(lgn).步骤就是先建立一个堆,建完就把第一个元素【最大或者最小】放到最后,如此循环,只到全部排序完毕。
虽然堆排序很优秀,但是快排其实用的更多,但是代表堆排序作用小,最小/最大优先级队列其实是搜索查找的启蒙算法。他就是基于堆排 .
//生成以i为根节点的最大堆
Array.prototype.MAX_HEAPTIFY = function (i) {
var largest = i;
var left = i * 2 + 1; //左孩子节点坐标
var right = i * 2 + 2; //右孩子节点坐标 if (left < heap_size && this[left] > this[largest]) { //这其实是一个剪枝的过程,因为heap_size后面都是排序好的。
largest = left;
}
if (right < heap_size && this[right] > this[largest]) {
largest = right;
}
if (largest !== i) {
this.swap(i, largest);
arguments.callee.call(this, largest);
}
}; //将父节点的值和最大值交换
Array.prototype.swap = function (i, j) {
var temp = this[i];
this[i] = this[j];
this[j] = temp;
}; //生产最大堆
Array.prototype.BUILD_HEAP = function () {
var lastP = Math.floor(this.length / 2) - 1; //最后一个非叶子节点。
for (var k = lastP; k >= 0; k--) {
this.MAX_HEAPTIFY(k);
}
}; //返回集合中子最大的关键字
Array.prototype.HEAP_MAXIMUM = function () {
return this[0]
}; //去掉并返回集合中的具有最大关键字的元素
Array.prototype.HEAP_EXTRACT_MAX = function () {
//if (heap_size2 < 1) {
//必须保证有元素
if (this.length < 1) {
throw new Error("heap underflow");
}
var max = this[0];
//this[0] = this[heap_size2]; //把最后一个元素放到最前面,
this[0] = this[this.length-1]; //把最后一个元素放到最前面,
this.pop(); //将最后一个元素删除
// --heap_size2; //此时因为弹出了一个元素,存储就少了
this.MAX_HEAPTIFY(0);
return max; };
//将元素x的关键字的值增加到k
Array.prototype.HEAP_INCREASE_KEY = function (i, key) {
if (key < this[i]) {
throw new Error("太小了");
}
this[i] = key;
function parent(x) {
return Math.floor(x / 2);
} while (i > 0 && this[parent(i)] < key) {
this.swap(parent(i), i);
i = parent(i);
}
}; //把元素key插入集合
Array.prototype.MAX_HEAP_INSERT = function (key) {
// heap_size2++;
// this[heap_size2] = Number.NEGATIVE_INFINITY;
this[this.length] = Number.NEGATIVE_INFINITY;
//this.HEAP_INCREASE_KEY(heap_size2, key);
this.HEAP_INCREASE_KEY(this.length - 1, key);
}; var A = [4, 9, 3, 11, 7, 22, 6, 8, 33, 57, 2, 5, 8];
var heap_size = A.length;
//var heap_size2 = A.length - 1;
A.BUILD_HEAP();
console.log(A);
console.log(A.HEAP_MAXIMUM());
console.log(A.HEAP_EXTRACT_MAX());
console.log(A);
A.MAX_HEAP_INSERT(100);
console.log(A);
A.HEAP_INCREASE_KEY(1, 99);
console.log(A);
算法分析-堆排序 HeapSort 优先级队列的更多相关文章
- leetcode_雇佣 K 名工人的最低成本(优先级队列,堆排序)
题干: 有 N 名工人. 第 i 名工人的工作质量为 quality[i] ,其最低期望工资为 wage[i] . 现在我们想雇佣 K 名工人组成一个工资组.在雇佣 一组 K 名工人时,我们必须按照下 ...
- 自己动手实现java数据结构(八) 优先级队列
1.优先级队列介绍 1.1 优先级队列 有时在调度任务时,我们会想要先处理优先级更高的任务.例如,对于同一个柜台,在决定队列中下一个服务的用户时,总是倾向于优先服务VIP用户,而让普通用户等待,即使普 ...
- 什么是优先级队列(priority queue)?
有时候我们需要在某个元素集合中找到最小值和最大值 .优先级队列抽象数据(Priority Queue ADT)模型是我们能够使用的方法之一,这是一种支持插入和删除最小值(DeleteMin)或者最大值 ...
- 优先级队列用法详解(priority_queue)
由于优先级队列的内部数据结构为 堆,所以这里先介绍堆的一些操作. 堆的一些函数操作在algorithm头文件中 //在[first, last)范围内构造最大堆,first,last 可以是vecto ...
- JAVA优先级队列元素输出顺序测试
package code.test; import java.util.Comparator; import java.util.Iterator; import java.util.Priority ...
- 用Python实现数据结构之优先级队列
优先级队列 如果我们给每个元素都分配一个数字来标记其优先级,不妨设较小的数字具有较高的优先级,这样我们就可以在一个集合中访问优先级最高的元素并对其进行查找和删除操作了.这样,我们就引入了优先级队列 这 ...
- STL之heap与优先级队列Priority Queue详解
一.heap heap并不属于STL容器组件,它分为 max heap 和min heap,在缺省情况下,max-heap是优先队列(priority queue)的底层实现机制.而这个实现机制中的m ...
- [PY3]——实现一个优先级队列
import heapq class PriorityQueue: def __init__(self): self._queue=[] self._index=0 def push(self,ite ...
- 笔试算法题(57):基于堆的优先级队列实现和性能分析(Priority Queue based on Heap)
议题:基于堆的优先级队列(最大堆实现) 分析: 堆有序(Heap-Ordered):每个节点的键值大于等于该节点的所有孩子节点中的键值(如果有的话),而堆数据结构的所有节点都按照完全有序二叉树 排.当 ...
随机推荐
- Oracle学习之常见错误整理
一.ORA-12154: TNS: 无法解析指定的连接标识符 在程序中连接Oracle数据库的方式与其他常用数据库,如:MySql,Sql Server不同,这些数据库可以通过直接指定IP的方式连接, ...
- python解析xml
python解析xml import xml.dom.minidom as minidom dom = minidom.parse("aa.xml") root = dom.get ...
- 【ecos学习1】wmware运行redboot[方法一]--脚本实现配置
背景: 远程服务器Ubuntu生成软盘镜像,通过Mac下wmware运行. 1- 环境及版本: uname -a 2.6.38-8-generic #42-Ubuntu SMP Mon Apr 11 ...
- 期末考试--nyoj-757
期末考试 时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB 难度:2 描述 马上就要考试了,小T有许多作业要做,而且每个老师都给出来了作业要交的期限,如果在规定的期限内没 交作业就会扣期末 ...
- SpringMVC之数据绑定(转)
到目前为止,请求已经能交给我们的处理器进行处理了,接下来的事情是要进行收集数据啦,接下来我们看看我们能从请求中收集到哪些数据, 1.@RequestParam绑定单个请求参数值: 2.@PathVar ...
- QProgressBar和QProgressDialog的简单实用
在QT中可以用QProgressBar或着QProgressDialog来实现进度条. QProgressBar的使用 首先在designer中拖一个按钮和进度条部件,按下面初始化 ui->pr ...
- android客户端从服务器端获取json数据并解析的实现代码(重要)
首先客户端从服务器端获取json数据 1.利用HttpUrlConnection /** * 从指定的URL中获取数组 * @param urlPath * @return * @throws Exc ...
- JVM调优的几种策略(转)
JVM参数调优是一个很头痛的问题,可能和应用有关系,别人说可以的对自己不一定管用.下面是本人一些JVM调优的实践经验,希望对读者能有帮助,环境LinuxAS4,resin2.1.17,JDK6.0,2 ...
- thrift TNonblockingServer 使用
下载 0.9.1 版本 (0.9.2需要 2.5的bison,而 RHEL6上自带bison是2.4) TNonblockingServer 时必须使用 TFramedTransport ,不能使 ...
- OSCHina技术导向:开源企业ERP系统Opentaps
opentaps Open Source ERP + CRM 基于 Apache OFBiz (The Open For Business Project ) 构建, 是一款设计良好, 逐渐流行起来的 ...