递归函数

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在函数内部,可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身,这个函数就是递归函数。

举个例子,我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n,用函数fact(n)表示,可以看出:

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以,fact(n)可以表示为n x fact(n-1),只有n=1时需要特殊处理。

于是,fact(n)用递归的方式写出来就是:

def fact(n):
if n==1:
return 1
return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试:

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000L

如果我们计算fact(5),可以根据函数定义看到计算过程如下:

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单,逻辑清晰。理论上,所有的递归函数都可以写成循环的方式,但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中,函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的,每当进入一个函数调用,栈就会加一层栈帧,每当函数返回,栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的,所以,递归调用的次数过多,会导致栈溢出。可以试试fact(1000)

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<stdin>", line 4, in fact
...
File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化,事实上尾递归和循环的效果是一样的,所以,把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指,在函数返回的时候,调用自身本身,并且,return语句不能包含表达式。这样,编译器或者解释器就可以把尾递归做优化,使递归本身无论调用多少次,都只占用一个栈帧,不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式,所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式,需要多一点代码,主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中:

def fact(n):
return fact_iter(1, 1, n) def fact_iter(product, count, max):
if count > max:
return product
return fact_iter(product * count, count + 1, max)

可以看到,return fact_iter(product * count, count + 1, max)仅返回递归函数本身,product * countcount + 1在函数调用前就会被计算,不影响函数调用。

fact(5)对应的fact_iter(1, 1, 5)的调用如下:

===> fact_iter(1, 1, 5)
===> fact_iter(1, 2, 5)
===> fact_iter(2, 3, 5)
===> fact_iter(6, 4, 5)
===> fact_iter(24, 5, 5)
===> fact_iter(120, 6, 5)
===> 120

尾递归调用时,如果做了优化,栈不会增长,因此,无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是,大多数编程语言没有针对尾递归做优化,Python解释器也没有做优化,所以,即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式,也会导致栈溢出。

有一个针对尾递归优化的decorator,可以参考源码:

#!/usr/bin/env python2.4
# This program shows off a python decorator(
# which implements tail call optimization. It
# does this by throwing an exception if it is
# it's own grandparent, and catching such
# exceptions to recall the stack. import sys class TailRecurseException:
def __init__(self, args, kwargs):
self.args = args
self.kwargs = kwargs def tail_call_optimized(g):
"""
This function decorates a function with tail call
optimization. It does this by throwing an exception
if it is it's own grandparent, and catching such
exceptions to fake the tail call optimization. This function fails if the decorated
function recurses in a non-tail context.
"""
def func(*args, **kwargs):
f = sys._getframe()
if f.f_back and f.f_back.f_back \
and f.f_back.f_back.f_code == f.f_code:
raise TailRecurseException(args, kwargs)
else:
while 1:
try:
return g(*args, **kwargs)
except TailRecurseException, e:
args = e.args
kwargs = e.kwargs
func.__doc__ = g.__doc__
return func @tail_call_optimized
def factorial(n, acc=1):
"calculate a factorial"
if n == 0:
return acc
return factorial(n-1, n*acc) print factorial(10000)
# prints a big, big number,
# but doesn't hit the recursion limit. @tail_call_optimized
def fib(i, current = 0, next = 1):
if i == 0:
return current
else:
return fib(i - 1, next, current + next) print fib(10000)
# also prints a big number,
# but doesn't hit the recursion limit.

现在,只需要使用这个@tail_call_optimized,就可以顺利计算出fact(1000)

>>> fact(1000)
4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104299385123986290205920442084869694048
0047998861019719605863166687299480855890132382966994459099742450408707375991882362772718873251977950
5950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476
6328898359557354325131853239584630755574091142624174743493475534286465766116677973966688202912073791
4385371958824980812686783837455973174613608537953452422158659320192809087829730843139284440328123155
8611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151
0273418279777047846358681701643650241536913982812648102130927612448963599287051149649754199093422215
6683257208082133318611681155361583654698404670897560290095053761647584772842188967964624494516076535
3408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200
0158885351473316117021039681759215109077880193931781141945452572238655414610628921879602238389714760
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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

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