博弈的SG函数理解及模板

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}=mex{0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}=mex{1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}=mex{0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}=mex{1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}=mex{2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

／*
所用的原理为：
规则1：一个状态是必败状态当且仅当它所有后继是必胜状态
规则2：一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态
*/

模板一（SG打表）：

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void GetSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,,sizeof(sg));//sg[0]就为0
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        memset(hash,,sizeof(hash));
        for(j=;f[j]<=i;j++)//f[]从1开始
            hash[sg[i-f[j]]]=;
        for(j=;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
        {
            if(hash[j]==)
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}

模板二（搜索dfs）：

//注意 f数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合f的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组
int f[],sg[],n;
int SG_dfs(int x)
{
    int i;
    if(sg[x]!=-)
        return sg[x];
    bool vis[];
    memset(vis,,sizeof(vis));
    for(i=;i<n;i++)
    {
        if(x>=f[i])
        {
            SG_dfs(x-f[i]);
            vis[sg[x-f[i]]]=;
        }
    }
    int e;
    for(i=;;i++)
        if(!vis[i])
        {
            e=i;
            break;
        }
    return sg[x]=e;
}