查找最近公共祖先(LCA)

一、问题

　　求有根树的任意两个节点的最近公共祖先（一般来说都是指二叉树）。最近公共祖先简称LCA（Lowest Common Ancestor）。例如，如下图一棵普通的二叉树。

　　　　

　　结点3和结点4的最近公共祖先是结点2，即LCA（3，4）=2 。在此，需要注意到当两个结点在同一棵子树上的情况，如结点3和结点2的最近公共祖先为2，即 LCA（3，2）=2。同理：LCA（5，6）=4，LCA（6，10）=1。

　　明确了题意，咱们便来试着解决这个问题。直观的做法，可能是针对是否为二叉查找树分情况讨论，这也是一般人最先想到的思路。除此之外，还有所谓的Tarjan算法、倍增算法、以及转换为RMQ问题（求某段区间的极值）。后面这几种算法相对高级，不那么直观，但思路比较有启发性，留作以后了解一下也有裨益。

二、思路

　　解法一：暴力解法，在有parent指针的情况下，对两个节点依次向上回溯，直到两个节点相同，那么这个节点就是最近公共祖先。时间复杂度为O(n²)

　　解法二：链表的交叉，在有parent指针的情况下，对两个节点分别到根节点的路径上的节点形成两个链表，因为两个链表很大可能不一样长，然后我们可以对其中长的一个链表从开头进行裁剪，形成两个链表长度一样，然后遍历直到相等，虽说优化了一点，但本质上还是暴力破解。

　　解法三：借用数组和列表，在没有parent指针的情况，我们只能从根节点往下遍历，而不能进行往上回溯。所以可以借用数组或列表来保存数据，后面进行比对。和链表的交叉差不多。

　　解法四：不借用额外的数据结构，没有parent指针。大概思路呢就是如果两个节点分属在根节点的两边，返回根节点，如果两个节点同在左子树或右子树，递归求解。

　　解法五：这种解法现在不太懂，现在留作记录以后观看。其中解法四和解法五在代码中体现。

三、代码

 import java.util.ArrayList;
 import java.util.List;

 public class LCA {
     public int getLCA(int a, int b) {
         TreeNode<Integer> root = of(10);

         TreeNode<Integer> lca = getLCA2(root, new TreeNode<Integer>(a), new TreeNode<Integer>(b));
         return lca == null ? -1 : lca.val;
     }

     //=====解法四===========
     // 看两个节点是否在同一侧
     private TreeNode<Integer> getLCA(TreeNode<Integer> root, TreeNode<Integer> p, TreeNode<Integer> q) {
         if (root == null)
             return null;
         if (root.equals(p) || root.equals(q))
             return root;

         boolean is_p_on_left = cover(root.left, p);
         boolean is_q_on_right = cover(root.right, q);
         if (is_p_on_left == is_q_on_right) {// 在root的两端
             return root;
         } else if (is_p_on_left) {// 在root的左端
             return getLCA(root.left, p, q);
         } else {
             return getLCA(root.right, p, q);
         }
     }

     // 解法五
     // 很难理解  递归定义不明确 第一次看到
     private TreeNode<Integer> getLCA2(TreeNode<Integer> root, TreeNode<Integer> p, TreeNode<Integer> q) {
         if (root == null)
             return null;
         if (root.equals(p) && root.equals(q))
             return root;

         // x是lca，或者是p（p在这一侧），或者是q（q在这一侧），或者是null（pq都不在这一侧）
         TreeNode<Integer> x = getLCA2(root.left, p, q);
         if (x != null && !x.equals(p) && !x.equals(q)) {// 在左子树找到了lca
             return x;
         }

         TreeNode<Integer> y = getLCA2(root.right, p, q);
         if (y != null && !y.equals(p) && !y.equals(q)) {// 在右子树找到了lca
             return y;
         }

         // x：p,q,null y :q,p,null
         if (x != null && y != null) {// 一边找着一个
             return root;
         } else if (root.equals(p) || root.equals(q)) {
             return root;
         } else {
             return x == null ? y : x;// 有一个不为null，则返回，都为null，返回null
         }
     }

     /**
      * 判断x节点是否在n所代表的子树中
      *
      * @param n
      * @param x
      * @return
      */
     private boolean cover(TreeNode<Integer> n, TreeNode<Integer> x) {
         if (n == null)
             return false;
         if (n.equals(x))
             return true;
         return cover(n.left, x) || cover(n.right, x);
     }

     public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
         // 发现目标节点则通过返回值标记该子树发现了某个目标结点
         if (root == null || root.equals(p.val) || root.equals(q))
             return root;
         // 查看左子树中是否有目标结点，没有为null
         TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
         // 查看右子树是否有目标节点，没有为null
         TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
         // 都不为空，说明左右子树都有目标结点，则公共祖先就是本身
         if (left != null && right != null)
             return root;
         // 如果发现了目标节点，则继续向上标记为该目标节点
         return left == null ? right : left;
     }

     static TreeNode<Integer> of(int n) {
         List<TreeNode<Integer>> list = new ArrayList<TreeNode<Integer>>();
         for (int i = 0; i < n; i++) {
             list.add(new TreeNode<Integer>(i + 1));
         }
         for (int i = 0; i < n; i++) {
             TreeNode<Integer> parent = list.get(i);
             if (i * 2 + 1 < n) {
                 TreeNode<Integer> left = list.get(i * 2 + 1);
                 parent.left = left;
                 left.parent = parent;
             } else
                 break;
             if (i * 2 + 2 < n) {
                 TreeNode<Integer> right = list.get(i * 2 + 2);
                 parent.right = right;
                 right.parent = parent;
             }
         }
         return list.get(0);
     }

     private static class TreeNode<T> {
         public T val;
         public TreeNode<T> left = null;
         public TreeNode<T> right = null;
         TreeNode<T> parent;

         public TreeNode(T val) {
             this.val = val;
         }

         @Override
         public boolean equals(Object o) {
             if (this == o)
                 return true;
             if (o == null || getClass() != o.getClass())
                 return false;

             TreeNode<?> treeNode = (TreeNode<?>) o;

             return val != null ? val.equals(treeNode.val) : treeNode.val == null;
         }

         @Override
         public int hashCode() {
             return val != null ? val.hashCode() : 0;
         }
     }
 }