LCT 模板及套路总结

这一个月貌似已经考了无数次\(LCT\)了.....

保险起见还是来一发总结吧.....

A. LCT 模板

\(LCT\) 是由大名鼎鼎的 \(Tarjan\) 老爷发明的。

主要是用来维护树上路径问题的。 它的神奇之处在于可以直接把一条路径抠出来维护。

其实就是维护树链剖分中的重链与轻链。

网上相关教程很多，直接给板子(其实是我懒得打E_E)

0. Splay代码：

\(LCT\)是以\(Splay\) 为实现基础的:

IL bool Son(RG int x){return ch[fa[x]][1] == x;}
IL bool Isroot(RG int x){return ch[fa[x]][1]!=x && ch[fa[x]][0]!=x; }
IL void Rot(RG int x){
	RG int y = fa[x] , z = fa[y] , c = Son(x);
	if(!Isroot(y))ch[z][Son(y)] = x; fa[x] = z;
	ch[y][c] = ch[x][!c]; fa[ch[y][c]] = y;
	ch[x][!c] = y; fa[y] = x; PushUp(y);
}
IL void Splay(RG int x){
	RG int top = 0; stk[++top] = x;
	for(RG int i = x; !Isroot(i); i = fa[i])stk[++top] = fa[i];
	while(top)PushDown(stk[top--]);
	for(RG int y = fa[x]; !Isroot(x) ; Rot(x) , y = fa[x])
		if(!Isroot(y))Son(x) ^ Son(y) ? Rot(x) : Rot(y);
	PushUp(x); return;
}

1. Access(x) 操作

作用是把 \(x\) 到根节点的这条路径变为重链。

void Access(int x){
     for(RG int y=0;x;y=x,x=fa[x])
         Splay(x) , ch[x][1] = y , PushUp(x);
     }
}

2. MakeRoot(x) 操作

作用是使 \(x\) 节点成为原树中的根。

IL void Makeroot(RG int x){Access(x); Splay(x); Reverse(x);}

对应的辅助函数：

IL bool Reverse(RG int x){swap(ch[x][1],ch[x][0]); rev[x] ^= 1;}

IL void PushDown(RG int x){
    if(rev[x])
        rev[x] ^= 1 ,
        Reverse(ch[x][0]) , Reverse(ch[x][1]) ;
}

3. FindRoot(x) 操作

作用是找到\(x\)所在原树的根节点。

IL int FindRoot(RG int x){
    Access(x); Splay(x);
    while(ch[x][0])x=ch[x][0]; return x;
}

4. Split(x,y) 操作

作用是分离出\(x\)到\(y\)这条路径。

IL void Split(RG int x,RG int y){MakeRoot(x); Access(y); Splay(y);}

那么此时路径信息都存在节点 \(y\) 上了，要查询什么直接查即可。

5. Link(x,y) 操作

作用是连接两个结点\(x\) , \(y\)

IL void Link(RG int x,RG int y){if((!x)||(!y))return; MakeRoot(x); fa[x] = y; }

6. Cut(x,y) 操作

作用是删除\(x\) , \(y\) 之间的连边

IL void Cut(RG int x,RG int y){if((!x)||(!y))return; Split(x,y); ch[y][0] = fa[x] = 0; PushUp(y);}

7. PushUp(x) \ PushDown(x) 操作

其实是与线段树一样的，直接维护题目所求即可。

代码略，以实际题目为准（注意翻转左右儿子的\(PushDown\)是必须有的）。

8.贴一发完整的\(LCT\)模版

namespace Link_Cut_Tree{
	bool Son(RG int x){return ch[fa[x]][1] == x;}
	bool Isroot(RG int x){return ch[fa[x]][1]!=x && ch[fa[x]][0]!=x; }
	bool Reverse(RG int x){swap(ch[x][1],ch[x][0]); rev[x] ^= 1;}
	void PushUp(RG int x){ ....... }
	void PushDown(RG int x)
        {if(rev[x])Reverse(ch[x][0]) , Reverse(ch[x][1]) , rev[x] ^= 1;}
	void Rot(RG int x){
		RG int y = fa[x] , z = fa[y] , c = Son(x);
		if(!Isroot(y))ch[z][Son(y)] = x; fa[x] = z;
		ch[y][c] = ch[x][!c]; fa[ch[y][c]] = y;
		ch[x][!c] = y; fa[y] = x; PushUp(y);
	}
	void Splay(RG int x){
		RG int top = 0; stk[++top] = x;
		for(RG int i = x; !Isroot(i) ; i = fa[i])stk[++top] = fa[i];
		while(top)PushDown(stk[top--]);
		for(RG int y = fa[x]; !Isroot(x) ; Rot(x) , y = fa[x])
			if(!Isroot(y))Son(x) ^ Son(y) ? Rot(x) : Rot(y);
		PushUp(x); return;
	}
	void Access(RG int x)
	    { for(RG int y = 0; x; y = x,x = fa[x])Splay(x),ch[x][1] = y,PushUp(x); }
    void MakeRoot(RG int x){Access(x); Splay(x); Reverse(x);}
    int FindRoot(RG int x){Access(x); Splay(x); while(ch[x][0])x=ch[x][0]; return x;}
    void Split(RG int x,RG int y){MakeRoot(x); Access(y); Splay(y);}
    void Link(RG int x,RG int y){if((!x)||(!y))return; MakeRoot(x); fa[x] = y;  }
    void Cut(RG int x,RG int y){if((!x)||(!y))return; Split(x,y); ch[y][0] = fa[x] = 0; PushUp(y);}
}

B. LCT 维护 边权 信息

具体的实现方法有几种，这里只讲一种最简单、最常用的方法。

对于每一条边，新建一个点，然后连向对应的两个原树节点。

那么常见的维护方法是 代表点的节点不赋值，只有代表边的节点才赋值。

具体可以见这一道非常经典的题目： [NOI2014]魔法森林

伪代码为：

\(Link\)操作直接进行即可。

IL void Link(Node u,Node v)
   NewNode(val_edge) ---(give)---> code_edge
   Link(u,code_edge);  Link(v,code_edge);

\(Cut\)操作则需要找到这条边对应的两个节点,然后直接删除即可。

IL void Cut(Edge e)
    Edge e ---(find)--> Node u1,u2 ;
    Delete(u1,code_e);  Delete(u2,code_e);

这里注意 :

一定要找到对应的节点，而不是code_e的左右儿子！！ ，不然保准你 WA 的怀疑人生。

然后一个非常经典的应用 就是 动态求图的割边(桥)：

具体见这题：[AHOI2005]LANE 航线规划 ;;;;;;;;

C. LCT 维护 子树 信息

理论上来说\(LCT\)是不适合维护子树信息的，但总有一些毒瘤的出题人**..

给一篇写的非常详细的博客：http://blog.csdn.net/neither_nor/article/details/52979425

怎么搞呢？

先明确一下概念。

\(LCT\) 链剖后,一些路径变为了 单独的 一棵\(Splay\) ，

我们类似树链剖分，把节点划为实儿子、虚儿子。

实儿子就是在同一棵\(Splay\)里的那个儿子，其它则为虚儿子。

那么实儿子对应的子树就为实子树，虚儿子对应的子树就为虚子树。

.

其实我们原来的\(LCT\)就是维护了实子树对吧？

所以我们在维护子树信息时，只要再维护一下虚子树的信息即可。

以求子树大小为例。

我们假设\(sz[u]\)表示\(u\)的虚子树大小 ， \(sum[u]\)表示整个子树大小，

那么显然，我们\(PushUp\)时，只需要更新\(sum\) , \(sz\)我们手动维护。

IL void PushUp(RG int x){ sum[x] = sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+sz[x]+1; }

那么考虑什么情况下会改变虚子树的大小，其实只有两个：

1. Access'(x) 操作

我们会把 \(x\) 原来的实儿子变为虚儿子，把另一个虚儿子变为实儿子。

我们对应的修改一下\(x\)的\(sz\)值，然后\(PushUp\)修改\(sum\)值即可。

IL void Access(RG int x){
	for(RG int y = 0; x; y = x,x = fa[x]){
		Splay(x);
		sz[x] += sum[ch[x][1]] - sum[y];
		ch[x][1] = y; PushUp(x);
	}return;
}

2. Link'(x,y) 操作

我们把\(x\)变为\(y\)的儿子。

那么显然\(x\)以及其所有祖先的\(sz\)值都会收到影响。

解决办法非常简单，把\(y\)也 \(MakeRoot\) 一下即可使得\(x\)只影响 \(y\) 。

注意一下由于我们修改了\(y\)的\(sz\)值，所以要\(PushUp\)一下\(y\)节点。

IL void Link(RG int x,RG int y){
        if((!x)||(!y))return;
	MakeRoot(x); MakeRoot(y);
	fa[x] = y; sz[y] += sum[x]; PushUp(y);
}

3.应用

应用一般就是求解会不断换根的子树信息问题。

最经典的一道题目是：「BJOI2014」大融合

D.LCT 维护图上信息

理论上来说\(LCT\)也是不适合维护图上信息的，但总有一些毒瘤的出题人..

图上信息的维护是不支持删边操作的。

其实图与树的差别就是可能有重边、环之类的。

那么既然我们只需要支持加边操作，那么只要用并查集维护缩点即可。

怎么维护呢？ 这其实也是维护双联通分量的套路了。

.

开两个并查集：

（1）\(bzj[u][1]\)，用于维护连通性

每次\(Link\)前，先查找一下两个点是否联通，如果不连通，则直接相连即可。

如果联通，则需要用到第二个并查集：

（2）\(bzj[u][2]\)，用于维护双联通性

如果两个点已经双联通了，那么再加边其实对双联通性没有影响。

如果两个点的\(bzj2\)未相连，那么把两个的\(bzj2\)相连，然后缩点。

如果两个点的\(bzj2\)已相连，那么说明这两个点已经缩在一起了，所以无需连边。

.

那么此时\(bzj2\)其实就是每个点对应的缩点后的点\(id\)了。

然后是实现，实现的时候，想一想\(LCT\)的性质，我们可以发现：

只有向上跳父亲的时候，缩点才会对操作有影响

为了方便描述，定义一个\(F\)函数用于找到一个点\(u\)的对应\(id\)。

int Find(RG int x,RG int od){return(bzj[x][od]==x)?x:Find(bzj[x][od],od);}
int F(RG int x){return Find(x,2); }

然后正常的\(LCT\)操作都遵循上面那个结论，找父亲是\(Find\)一下即可。

以\(Splay\)为例(什么\(Access\)之类的都是一样的)：

IL void Splay(RG int x){
    RG int top = 0; stk[++top] = x;
    for(RG int i = x; !Isroot(i); i = F(fa[i]))stk[++top] = F(fa[i]);
    while(top)PushDown(stk[top--]);
    for(RG int y = F(fa[x]); !Isroot(x); Rot(x),y = F(fa[x]))
        if(!Isroot(y))Son(x) ^ Son(y) ? Rot(x) : Rot(y);
    PushUp(x);  return;
}

关键：\(Add(x,y)\) 操作

关键在于链接两个点时的操作，这时候是不能直接执行\(Link\)操作的。

先给代码：

IL void Add(RG int u,RG int v){
    RG int x = F(u) , y = F(v);
    RG int f1 = Find(x,1) , f2 = Find(y,1);
    if(f1 != f2){
        bzj[f1][1] = f2;
        Link(x,y);  return;
    }
    else{
        if(x == y)return;
        Split(x,y); Merge(y,y);   //缩点
        ch[y][0] = ch[y][1] = 0;  //!!!!!!!!
    }return;
}

显然就是按照上面的并查集维护原则连边。

然后给一下缩点的代码：

IL void Merge(RG int u,RG int rt){
    if(u ^ rt)
        sum[rt] += sum[u], bzj[F(u)][2] = rt, sum[u] = fig[u] = 0;
    if(ch[u][0])Merge(ch[u][0],rt);
    if(ch[u][1])Merge(ch[u][1],rt);
}

其中\(sum\)为结点自身的信息(本身值)，\(fig\)为子树信息(计算值)。

应用：

这个就依题目而定吧。

请记住一个最明显的特征：只支持加边，不支持删边！

\(LCT\)维护图上信息最经典的一题为：[BZOJ 2959]长跑 , 友情提示注意卡常。

有根LCT

自行yy，唯一一个需要注意的地方：

Cut(u,Fa) 的时候，必须把\(fa\)转到\(Splay\)顶端！(不能把\(u\)转到顶端)，然后剪切。

IL void Cut(int u , int Fa) {
    Access(u) ; Splay(Fa) ;
    ch[1][Fa] = fa[u] = 0 ; PushUp(Fa) ; return ;
}

因为如果转\(u\)到顶端的话，剪切后整棵树的根就会产生变化，转移到\(u\)所属\(Splay\)中。