洛谷P3953 逛公园（NOIP2017）（最短/长路，拓扑排序，动态规划）

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又是一年联赛季。NOIP2017至此收官了。

这个其实是比较套路的图论DP了，但是细节有点恶心。

先求出\(1\)到所有点的最短路\(d1\)，和所有点到\(n\)的最短路\(dn\)。

设\(f_{i,j}\)表示\(i\)号点，所有与\(d1\)差距不超过\(j\)的路径条数。转移的时候肯定是从小到大枚举\(j\)，再枚举边转移。显然每条边都有一个\(\Delta\)值，为\(d1_x-d1_y+w\)，含义就是强制经过这条边的最短路长度相较于原最短路长度的增量。于是有转移式\(f_{x,j}\rightarrow f_{y,j+\Delta}\)。

显然上面的转移，要沿着最短路的方向转移，所以要按\(d1\)从小到大考虑每个点的出边。

没有\(0\)的边就可以直接开始做了，可偏偏就是有啊qwq。

首先来判无解，首先要有个\(0\)环，其次要有一条经过环的、长度小于等于\(d1_n+k\)的路径。考虑在所有\(0\)边的子图上拓扑排序，剩下未出队的肯定在环上，对剩下的点检查一遍有没有\(d1_x+dn_x\le d1_n+k\)的。

接下来，还别忘了处理被\(0\)边所连起来的点的转移顺序。这个时候如果剩下环肯定贡献不到答案，需要处理的就是一些DAG上的点的顺序了。显然来一组拓扑序就可以了，拓扑排序的时候顺便搞搞。转移顺序就用\(d1\)和拓扑序双关键字确定好了。

时间复杂度\(O(T((n+m)\log m+kn))\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define RG register
#define R RG int
#define G if(++ip==ie)fread(ip=buf,1,SZ,stdin)
using namespace std;
const int SZ=1<<19,N=1e5+9,M=4e5+9;
int n,m,k,YL,p,he[N],re[N],ne[M],to[M],w[M],deg[N],q[N],d1[N],dn[N],o[N],ord[N],f[N][51];
bool vis[N];
struct Node{
    int d,x;
    inline bool operator<(Node a)const{
        return d>a.d||(d==a.d&&o[x]>o[a.x]);
    }
};
priority_queue<Node>Q;
char buf[SZ],*ie=buf+SZ,*ip=ie-1;
inline int in(){
    G;while(*ip<'-')G;
    R x=*ip&15;G;
    while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
    return x;
}
inline void add(R&x,R y){
    if((x+=y)>=YL)x-=YL;
}
void dij(R*d,R*he,R x){//最短路
    memset(d+1,127,4*n);memset(vis+1,0,n);
    Q.push((Node){d[x]=0,x});
    while(!Q.empty()){
        x=Q.top().x;Q.pop();
        if(vis[x])continue;
        vis[x]=1;
        if(d==d1)ord[++p]=x;//记录转移顺序
        for(R y,i=he[x];i;i=ne[i])
            if(d[y=to[i]]>d[x]+w[i])
                Q.push((Node){d[y]=d[x]+w[i],y});
    }
}
int main(){
    for(R T=in();T;--T){
        n=in();m=in();k=in();YL=in();
        R x,y,t=0;
        for(R i=1;i<=m;++i){
            x=in(),y=in();//建双向边
            ne[i]=he[x];to[he[x]=i]=y;i+=m;
            ne[i]=re[y];to[re[y]=i]=x;i-=m;
            if(!(w[i]=w[i+m]=in()))++deg[y];
        }
        for(R i=1;i<=n;++i)//拓扑排序
            if(!deg[i])q[++t]=i;
        for(R h=0;h<=t;++h){
            o[x=q[h]]=h;
            for(R i=he[x];i;i=ne[i])
                if(!w[i]&&!--deg[to[i]])q[++t]=to[i];
        }
        dij(d1,he,1);dij(dn,re,n);
        for(R i=1;i<=n;++i)
            if(deg[i]&&d1[i]+dn[i]<=d1[n]+k){puts("-1");goto F;}
        for(x=1;x<=n;++x)//重赋边权为Δ
            for(R i=he[x];i;i=ne[i])
                w[i]+=d1[x]-d1[to[i]];
        f[1][0]=1;//DP开始
        for(R j=0;j<=k;++j)
            for(R i=1;i<=n;++i)
                if(f[x=ord[i]][j])
                    for(R i=he[x];i;i=ne[i])
                        if(j+w[i]<=k)add(f[to[i]][j+w[i]],f[x][j]);
        for(R i=x=0;i<=k;++i)add(x,f[n][i]);
        printf("%d\n",x);
      F:memset(he+1,0,4*n);memset(re+1,0,4*n);
        memset(o+1,0,4*n);memset(deg+1,0,4*n);memset(ord+1,0,4*n);
        memset(f+1,0,4*51*n);p=0;
    }
    return 0;
}