经典动态规划python实现

1.最长上升子序列

对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2...，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。
给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。
测试样例：
[2,1,4,3,1,5,6],7
返回：4

方法1：O（n²）

生成一个新的列表b，b和输入列表a对应长度。b[t]表示a以a[t]为结尾的上升子序列长度。

# -*- coding:utf-8 -*-

class AscentSequence:
    def findLongest(self, A, n):
        # write code here
        b=[]#存放相应位置最长子序列的长度
        for i in range(len(A)):#循环a
            temp=A[i]
            b.append(1)#b赋初值1
            for j in range(i):#对i之前数遍历，找到以a[i]结尾的子序列长度
                if(A[i]>A[j] and b[j]+1>b[i]):
                    b[i]=b[j]+1
        result=max(b)
        return result

方法2.O(nlogn)

生成一个新的列表b，b[t]表示长度为t+1的子序列的结尾数字。

我们再举一个例子：有以下序列A[]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

　   我们定义一个B[i]来储存可能的排序序列，len为LIS长度。我们依次把A[i]有序地放进B[i]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

　　A[1]=3，把3放进B[1]，此时B[1]=3，此时len=1，最小末尾是3 ---注意这里的举例是从下标1开始的，方便理解，实际代码直接从0开始

　　A[2]=1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1]=1，此时len=1，最小末尾是1

　　A[3]=2，2大于1，就把2放进B[2]=2，此时B[]={1,2}，len=2

　　同理，A[4]=6，把6放进B[3]=6，B[]={1,2,6}，len=3

　　A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[]={1,2,4}，len=3

　　A[6]=5，B[4]=5，B[]={1,2,4,5}，len=4

　　A[7]=10，B[5]=10，B[]={1,2,4,5,10}，len=5

　　A[8]=7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[]={1,2,4,5,7}，len=5

# -*- coding:utf-8 -*-

class AscentSequence:
    def findLongest(self, A, n):
        # write code here
        b=[]#b位置上存储是下标位置-1（长度）的结尾数字
        b.append(A[0])#先把第一个元素放进来
        for i in range(1,len(A)):
            if(A[i]>b[-1]):#如果A大于b的最后一个数字，b直接追加
                b.append(A[i])
            else:
                for j in range(len(b)):
                    if (A[i]<b[j]):#A中元素与b中元素比较，所以是nLogn的复杂度
                            b[j]=A[i]#相同长度的子序列，选择最小的那个
                            break#一定要跳出循环
        return len(b)

参考：

http://blog.csdn.net/zhangyx_xyz/article/details/50949957

https://www.nowcoder.com/test/question/done?tid=10236396&qid=25104#summary

2.最长公共子序列长度

对于两个字符串，请设计一个高效算法，求他们的最长公共子序列的长度，这里的最长公共子序列定义为有两个序列U1,U2,U3...Un和V1,V2,V3...Vn,其中Ui&ltUi+1，Vi&ltVi+1。且A[Ui] == B[Vi]。
给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例：
"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回：6

分析：

首先区别一下子串与子序列，子串要求是连续的而子序列不要求连续。例如ABCDEG字符串, ABC为子串，ADG为子序列。

设有两个字符串数组 str1【N】和str2【M】，构建二维数组DP【N】【M】,其中DP【i】【j】的含义：字符串str1【0……i】与str2【0……j】的公共子序列的长度。

我们来分析DP【i】【j】的来源，

1、首先DP【i】【j】的值不会小于DP【i-1】【j-1】,如果str1【i】==str2【j】，则DP【i】【j】 = DP【i-1】【j-1】+1。

2、如果str1【i】！=  str2【j】，DP的来源于max( DP【i】【j-1】，DP【i-1】【j】)，

此时不用考虑DP【i-1】【j-1】，因为：

DP【i】【j-1】>=DP【i-1】【j-1】,

DP【i-1】【j】>=DP【i-1】【j-1】

( 没看明白可以这样考虑：

str1【0……i】与str2【0……j-1】 的公共子序列肯定不会比str1【0……i-1】与str2【0……j-1】的公共子序列小，

同理str1【0……i-1】与str2【0……j】的公共子序列肯定不会比str1【0……i-1】与str2【0……j-1】的公共子序列小。)

所以选取这两个最大一个即可。

（实际上分了三种情况讨论。。。）

明白DP【i】【j】的含义，以及DP【i】【j】的推导后，我们再来看如何构造DP【N】【M】数组。

1、首先构造第一行，

DP【0】【0……M-1】代表字符串str1【0……0】与str2【0……M-1】的最长公共子序列，

可以看出这一行的值，不为1就为0，

且当DP【0】【K】为1时（含义：str1【0】 ==str2【K】&&str1【0】！=str2【0……K-1】)   DP【0】【K+1……M-1】均为1。

2、构造第一列，

DP【0……N-1】【0】代表str1【0……N-1】与str2【0……0】的最长公共子序列，

可以看出这一列的值同第一行一样，不为1就为0，

且当DP【K】【0】为1时（含义：str1【K】 ==str2【0】&&str1【0……K-1】！=str2【0】)   DP【K+1……M-1】【0】均为1。

3、知道了第一行和第一列的值，可以根据求得其他所有矩阵中的值。

如果题目还让我们输出这个最长公共子序列呢？

构造DP【N】【M】之后，就可以根据DP【N】【M】来求得最长公共子序列。

1、首先从右下角开始，DP【N-1】【M-1】，如果str1【N-1】 == str2【M-1】 则说明str1【N-1】一定是最长公共子序列中的一个数，得记录下来

2、如果str1【N-1】 ！= str2【M-1】，则不用记录str1【N-1】或str2【M-1】，这时需要向上（DP【i-1】【j】）移动或者向左

（DP【i】【j-1】）移动，看这两个值哪个大，谁大往谁的方向移。（可以这样理解，既然我们这个点str1【N-1】与str2【M-1】不同，

但是此时最大递增子序列的长度应该是不变的，所以应该向DP【】【】值不变的方向移动，回想起我们在创建DP【】【】数组时，

当str1【N-1】 ！= str2【M-1】，DP【N-1】【M-1】的来源是左边和上边其中的较大值。所以应该向左边和上边中的较大值移动）

3、每到str1【K1】 == str2【K2】  记录下str1【k1】，不相等时，向左和上的较大值移动，直到DP【K1】【k2】==0终止。

参考：

http://blog.csdn.net/qq_27161673/article/details/52674898

https://www.nowcoder.com/test/question/done?tid=10236396&qid=25105#summary

# -*- coding:utf-8 -*-

class LCS:
    def findLCS(self, A, n, B, m):
        # write code here

        #这里一定要注意的是，列表里边的m和n的顺序，一定要和下边for循环合拍，容易错
        dp=[[0 for i in range(m+1)]for j in range(n+1)]
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if A[i]==B[j]:
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1
                else:
                    dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j])
        return dp[n][m]

3.最长公共子串

对于两个字符串，请设计一个时间复杂度为O(m*n)的算法(这里的m和n为两串的长度)，求出两串的最长公共子串的长度。这里的最长公共子串的定义为两个序列U1,U2,..Un和V1,V2,...Vn，
其中Ui + 1 == Ui+1,Vi + 1 == Vi+1，同时Ui == Vi。
给定两个字符串A和B，同时给定两串的长度n和m。
测试样例：
"1AB2345CD",9,"12345EF",7
返回：4

题目要求公共子串的元素必须相邻， dp矩阵是按照这样的思路想出来的：

首先：

用一个矩阵来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况，若是匹配则为1，否则为0。然后求出对角线最长的1序列，其对应的位置就是最长匹配子串的位置.

下面是字符串21232523311324和字符串312123223445的匹配矩阵，前者为X方向的，后者为Y方向的。不难找到，红色部分是最长的匹配子串。通过查找位置我们得到最长的匹配子串为：21232

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0  0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0  0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0  0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

但是在0和1的矩阵中找最长的1对角线序列又要花去一定的时间。通过改进矩阵的生成方式和设置标记变量，可以省去这部分时间。

优化：

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0
 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0  0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0  0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0  0 1 0 0 0 0 0 2 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

当字符匹配的时候，我们并不是简单的给相应元素赋上1，而是赋上其左上角元素的值加一。我们用两个标记变量来标记矩阵中值最大的元素的位置，在矩阵生成的过程中来判断当前生成的元素的值是不是最大的，据此来改变标记

量的值，那么到矩阵完成的时候，最长匹配子串的位置和长度就已经出来了。

ref：

http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/10/06/2199764.html

摘自：https://www.nowcoder.com/test/question/done?tid=10236396&qid=25106#summary

 

# -*- coding:utf-8 -*-

class LongestSubstring:
    def findLongest(self, A, n, B, m):
        # write code here
        dp=[[0 for i in range(m+1)]for j in range(n+1)]
        result=0
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if A[i]==B[j]:
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1
                    result=max(result,dp[i+1][j+1])
        return result

4.最小编辑代价

对于两个字符串A和B，我们需要进行插入、删除和修改操作将A串变为B串，定义c0，c1，c2分别为三种操作的代价，请设计一个高效算法，求出将A串变为B串所需要的最少代价。
给定两个字符串A和B，及它们的长度和三种操作代价，请返回将A串变为B串所需要的最小代价。保证两串长度均小于等于300，且三种代价值均小于等于100。
测试样例：
"abc",3,"adc",3,5,3,100
返回：8

分析：

同样，我们令a=len(A),b=len(B)，我们可以申请一个dp——(a+1)*(b+1)的列表。用来保存我们的中间结果。

　　dp=[i][j]表示A[i-1]到B[j-1]的编辑距离；

　　dp[0][0]=0；

　　dp[i][0]表示A[i-1]到B[0]的编辑距离，要不停的删除；

　　dp[0][j]表示A[0]到B[j-1]的编辑距离，要不停的添加；

　　

　　如何求dp[i][j]？首先dp[i][j]表示的是将A[i-1]变成B[j-1]。三个途径。dp[i-1][j-1]  dp[i][j-1]   dp[i-1][j]

　　1.当A[i-1]==B[j-1]时，不用编辑，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]；

　　2.当A[i-1]！=B[j-1]时，dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+c2, dp[i][j-1]+c0,dp[i-1][j]+c1)。

　　下面我们解释第二种情况中min中的三个子编辑的来源。

　　要求dp[i][j]，我们可以直接把A[i-1]修改成B[j-1]，这里就是dp[i-1][j-1]+c2 ；

　　要求dp[i][j]，我们可以把A[i-1]改成B[j-2]，然后再添加一个B[j-1]，这里A[i-1]改成B[j-2]的代价已经求出来了，就是dp[i][j-1]，所以总的代价是dp[i][j-1]+c0；

　　要求dp[i][j]，我们可以把A[i-2]改成B[j-1]，然后再删除A[i]，因为我们的终极目标就是要得到B[j-1]，dp[i-1][j]已经做到了，那么我们可以把多出来的元素A[i]删掉即可。

　　最后我们从这三个当中找一个最小的编辑代价即可。

　　

# -*- coding:utf-8 -*-

class MinCost:
    def findMinCost(self, A, n, B, m, c0, c1, c2):
        # write code here
        dp=[[0 for i in range(m+1)] for j in range(n+1)]
        for i in range(1,m+1):
            dp[0][i]=dp[0][i-1]+c0
        for j in range(1,n+1):
            dp[j][0]=dp[j-1][0]+c1
        for j in range(1,n+1):
            for i in range(1,m+1):
                if A[j-1]==B[i-1]:
                    dp[j][i]=dp[j-1][i-1]
                else:
                    dp[j][i]=min(dp[j-1][i-1]+c2,dp[j-1][i]+c1,dp[j][i-1]+c0)
        return dp[-1][-1]

注意：1.i和j分别对应谁，这个比较容易出错；2.不要把min写成max

5.字符串交错组成

对于三个字符串A，B，C。我们称C由A和B交错组成当且仅当C包含且仅包含A，B中所有字符，且对应的顺序不改变。请编写一个高效算法，判断C串是否由A和B交错组成。
给定三个字符串A,B和C，及他们的长度。请返回一个bool值，代表C是否由A和B交错组成。保证三个串的长度均小于等于100。
测试样例：
"ABC",3,"12C",3,"A12BCC",6
返回：true

分析：

假设str1的长度为N，str2的长度为M，生成(N+1)*(M+1)的dp矩阵，为什么是N+1,M+1，因为我们需要在字符串的开头添加一个空字符的特殊情况，dp[i][j]的值代表aim[0…i+j-1]能否被str1[0…i-1]和str2[0…j-1]交错组成，dp[i][j]的值计算如下：

矩阵的第一行表示能否只用str2[0…j-1]交错组成aim[0…j-1]，如果str2[0…j-1]等于aim[0…j-1]，则令dp[0][j] = True，否则为False

矩阵的第一列同上，如果str1[0…i-1]等于aim[0…i-1]，则令dp[i][0] = True，否则为False

矩阵的其余位置由以下情况决定：

1）dp[i-1][j]代表aim[0…i+j-2]能否被str1[0…i-2]和str2[0…j-1]交错组成，如果可以，那么如果再有str1[i-1]等于aim[i+j-1]，说明str1[i-1]又可以作为交错组成aim[0…i+j-1]的最后一个字符。令dp[i][j] = True

2）dp[i][j-1]代表aim[0…i+j-2]能否被str2[0…j-2]和str1[0…i-1]交错组成，如果可以，那么如果再有str2[j-1]等于aim[i+j-1]，说明str2[j-1]又可以作为交错组成aim[0…i+j-1]的最后一个字符。令dp[i][j] = True

3）如果上述情况不满足，令dp[i][j] = False

# -*- coding:utf-8 -*-

class Mixture:
    def chkMixture(self, A, n, B, m, C, v):
        # write code here
        #if A == None or B == None or C == None or len(A)+len(B) != len(C):
            #return False
        dp = [[False for i in range(len(B)+1)] for j in range(len(A)+1)]
        dp[0][0] = True
        for i in range(1, len(A)+1):
            if A[i-1] != C[i-1]:
                break
            dp[i][0] = True
        for j in range(1, len(B)+1):
            if B[j-1] != C[j-1]:
                break
            dp[0][j] = True
        for i in range(1, len(A)+1):
            for j in range(1, len(B)+1):
                if (dp[i-1][j] == True and A[i-1] == C[i+j-1]) or (dp[i][j-1] == True and B[j-1] == C[i+j-1]):
                    dp[i][j] = True
        return dp[-1][-1]

注意：dp矩阵只是存储过程，并非真正的步骤，字体中粉色1）的话，dp[i][j]就是判断str1[i-1]和str2[j-1]能否表示str3[i+j-1]，如果dp[i-1][j]代表aim[0…i+j-2]能否被str1[0…i-2]和str2[0…j-1]交错组成，所以问题的关键是str1[i-1]是不是和str3[i+j-1]相等。2）同理。

千万要理解dp矩阵的含义。

方法2：用递归

class Mixture:
    def chkMixture(self, A, n, B, m, C, v):
        # write code here
        if(v == 0):
            return true
        if(n == 0):
            return B == C
        if(m == 0):
            return A == C
        if(A[0]==C[0] and B[0]!=C[0]):
            return self.chkMixture(A[1:],n-1,B,m,C[1:],v-1)
        elif(B[0]==C[0] and A[0]!=C[0]):
            return self.chkMixture(A,n,B[1:],m-1,C[1:],v-1)
        elif(B[0]==C[0] and A[0]==C[0]):
            return self.chkMixture(A[1:],n-1,B,m,C[1:],v-1) or self.chkMixture(A,n,B[1:],m-1,C[1:],v-1)
        else:
            return False

参考：

http://m.blog.csdn.net/qq_34342154/article/details/77151959

http://www.cnblogs.com/sunp823/p/5601406.html