BZOJ4481: [Jsoi2015]非诚勿扰【概率期望+树状数组】

Description

【故事背景】

JYY赶上了互联网创业的大潮，为非常勿扰开发了最新的手机App实现单身

大龄青年之间的“速配”。然而随着用户数量的增长，JYY发现现有速配的算法似

乎很难满足大家的要求，因此JYY决定请你来调查一下其中的原因。

【问题描述】

应用的后台一共有N个女性和M个男性，他们每个人都希望能够找到自己的

合适伴侣。为了方便，每个男性都被编上了1到N之间的一个号码，并且任意两

个人的号码不一样。每个女性也被如此编号。

JYY应用的最大特点是赋予女性较高的选择权，让每个女性指定自己的“如

意郎君列表”。每个女性的如意郎君列表都是所有男性的一个子集，并且可能为

空。如果列表非空，她们会在其中选择一个男性作为自己最终接受的对象。

JYY用如下算法来为每个女性速配最终接受的男性：将“如意郎君列表”中的

男性按照编号从小到大的顺序呈现给她。对于每次呈现，她将独立地以P的概率

接受这个男性（换言之，会以1−P的概率拒绝这个男性）。如果她选择了拒绝，

App就会呈现列表中下一个男性，以此类推。如果列表中所有的男性都已经呈现，

那么中介所会重新按照列表的顺序来呈现这些男性，直到她接受了某个男性为止。

显然，在这种规则下，每个女性只能选择接受一个男性，而一个男性可能被多个

女性所接受。当然，也可能有部分男性不被任何一个女性接受。

这样，每个女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”为空的除外）。现

在考虑任意两个不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的编号比b的编

号小，而a选择的男性的编号比b选择的编号大，那么女性a和女性b就叫做一对

不稳定因素。

由于每个女性选择的男性是有一定的随机性的，所以不稳定因素的数目也是

有一定随机性的。JYY希望你能够求得不稳定因素的期望个数（即平均数目），

从而进一步研究为什么速配算法不能满足大家的需求。

Input

输入第一行包含2个自然数N,M，表示有N个女性和N个男性，以及所有女

性的“如意郎君列表”长度之和是M。

接下来一行一个实数P，为女性接受男性的概率。

接下来M行，每行包含两个整数a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”

中。

输入保证每个女性的“如意郎君列表”中的男性出现切仅出现一次。

1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

输出1行，包含一个实数，四舍五入后保留到小数点后2位，表示不稳定因素的期望数目。

Sample Input

5 5

0.5

5 1

3 2

2 2

2 1

3 1

Sample Output

0.89

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思路

直接考虑每个男人的期望贡献就可以了

用树状数组来维护

直接把每个男人的被选概率算出来统计答案

这东西推一下等比数列求和就可以了

水题

不过要卡精度，勇士请使用long double

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long double lb;
const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
lb bit[N], p;
vector<int> g[N];

lb fast_pow(lb a, int b) {
  lb res = 1.0;
  while (b) {
    if (b & 1) res *= a;
    b >>= 1;
    a *= a;
  }
  return res;
}

void add(int x, lb val) {
  while (x < N) {
    bit[x] += val;
    x += x & (-x);
  }
}

lb query(int x) {
  lb res = 0;
  while (x) {
    res += bit[x];
    x -= x & (-x);
  }
  return res;
}

lb query(int l, int r) {
  return query(r) - query(l - 1);
}

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &m);
  scanf("%Lf", &p);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
    g[u].push_back(v);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    sort(g[i].begin(), g[i].end());
  }
  lb ans = 0.0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int len = g[i].size();
    for (int j = 0; j < len; j++) {
      lb cur = p * fast_pow(1.0 - p, j) / (1.0 - fast_pow(1.0 - p, len));
      ans += query(g[i][j] + 1, m) * cur;
      add(g[i][j], cur);
    }
  }
  printf("%.2Lf", ans);
  return 0;
}