P3216 [HNOI2011]数学作业 （矩阵快速幂）

P3216 [HNOI2011]数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 NN 和 MM ，要求计算 Concatenate (1 .. N) Concatenate(1..N) ModMod MM 的值，其中 Concatenate (1 .. N) Concatenate(1..N) 是将所有正整数 1, 2, …, N1,2,…,N 顺序连接起来得到的数。例如， N = 13N=13 , Concatenate (1 .. N)=12345678910111213Concatenate(1..N)=12345678910111213 .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足 1≤N≤10000001≤N≤1000000 ；100%的数据满足 1≤N≤10^{18}1≤N≤$ 10^18 \(
且 1≤M≤\) 10^9 \(1≤M≤1\) 0^9 $

.

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N)Concatenate(1..N) ModMod MM 的值。

输入输出样例

输入样例#1：

13 13

输出样例#1：

4

递推式容易得到：$$ f[i+1]=f[i]*10^{k}+i+1 $$

范围 $ n<=10^{18} $

线性算法肯定TLE，那就考虑log的算法（快速幂或者倍增）

考虑把递推式转换成矩阵

递推式有三项

经验告诉我们，也许要用到\(3*3\)的矩阵

经过一系列 碰数，凑数，计算

我们得到矩阵

\[\begin{pmatrix} f[n+1],n+1,1 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} f[n],n,1 \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} 10^{k},0,0\\1,1,0\\1,1,1 \end{bmatrix} \]

从而可以得到

\[\begin{pmatrix} f[n+1],n+1,1 \end{pmatrix}=
=\begin{pmatrix} f[1],1,1 \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} 10^{k},0,0\\1,1,0\\1,1,1\end{bmatrix}^{n-1}\]

ps:k是位数

k虽然是不确定的，但k的范围却很小 <=18

所以分开做就可以了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,mod;
struct node {
	ll m[4][4];
} ans,ss,a;
node mul(node x,node y) {
	node c= {};
	for(int i=1; i<=3; ++i)
		for(int j=1; j<=3; ++j)
			for(int k=1; k<=3; ++k)
				c.m[i][j]=(c.m[i][j]+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%mod)%mod;
	return c;
}
void fpow(ll p) {
	while(p) {
		if(p&1)	ans=mul(ans,ss);
		ss=mul(ss,ss);
		p>>=1;
	}
}
int main() {
	//全部开long long不要质疑
	cin>>n>>mod;
	ans.m[1][3]=a.m[1][1]=a.m[2][1]=a.m[2][2]=a.m[3][1]=a.m[3][2]=a.m[3][3]=1;
	for(ll i=1,j; i<=n; i=j+1) {
		j=i*10-1;
		if(j>n) j=n;
		a.m[1][1]=a.m[1][1]*(ll)10%mod;
		ss=a;
		fpow(j-i+1);
	}
	printf("%lld\n",ans.m[1][1]%mod);
	return 0;
}

自己还是太弱，最后处理菜的要死