[Educational Round 3][Codeforces 609E. Minimum spanning tree for each edge]
这题本来是想放在educational round 3的题解里的,但觉得很有意思就单独拿出来写了
题目链接:609E - Minimum spanning tree for each edge
题目大意:n个点,m条边,对每条边,询问包含此边的最小生成树的边权之和
题解:大部分人都是用LCA写的,这里提供一个更为精妙的做法。
模拟Kruskal算法建MST的过程,先将m条边按边权排序,依次进行判断。若点对(u,v)属于同一个连通块,则加入边{u,v,w}后会形成一个环,把环中最大的边换成w会多产生的权重就是包含这条边的MST比原先的MST多出来的权重,否则在MST中加入这条边。
而这里加边的时候并不是选择直接在(u,v)之间连边,而是在他们的祖先之间连边,并有如下判断:若点v的子树大小大于点u的子树大小,则把v看做是u的父亲(将u所在的子树并入v),反之亦然。判断加边后是否会成环时,则只需暴力一层层寻找当前点的父亲即可,即是用O(n)的方法求LCA,但由于之前建树的方式用到了[small to large]的思想(就是启发式合并),所以往上爬的层数不会超过log n。因此时间复杂度为O(mlog n)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200001
#define LL long long
struct rua{LL u,v,w,id;}a[N];
LL n,m,mst,fa[N],f[N],sz[N],l[N];
bool cmp(rua x,rua y){return x.w<y.w;}
LL add(LL u,LL v,LL w)
{
LL mx=;
while((fa[u]!=u ||fa[v]!=v) && u!=v)
if(fa[u]==u || (fa[v]!=v && sz[v]<=sz[u]))
mx=max(mx,l[v]),v=fa[v];
else mx=max(mx,l[u]),u=fa[u];
if(u==v)return w-mx;
if(sz[u]<sz[v])swap(u,v);
sz[u]+=sz[v],fa[v]=u,l[v]=w;
return mst+=w,;
}
int main()
{
scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++)
scanf("%I64d%I64d%I64d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w),sz[i]=,fa[i]=a[i].id=i;
sort(a+,a+m+,cmp);
for(int i=;i<=m;i++)
f[a[i].id]=add(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
for(int i=;i<=m;i++)
printf("%I64d\n",mst+f[i]);
}
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