HDU 1757 A Simple Math Problem( 矩阵快速幂 )
<font color = red , size = '4'>下列图表转载自 efreet
链接:传送门
题意:给出递推关系,求 f(k) % m 的值,
思路:
因为 k<2 * 10^9 , m < 10^5,O(n)算法应该是T掉了,当 k >= 10 时 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10),可以理解为这是两个行列是乘积的值,经下面分析可知用矩阵快速幂可搞
下列三个表分别命名为矩阵0,矩阵1,矩阵2。
fk | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
等于
a0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a8 | a9 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
乘以
fk-1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
fk-10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- 经过观察发现,当 k >= 10 时 f(k) = [ 矩阵1 ]^(k-9) * [ 矩阵2 ]
/*************************************************************************
> File Name: hdu1757.cpp
> Author: WArobot
> Blog: http://www.cnblogs.com/WArobot/
> Created Time: 2017年05月02日 星期二 19时25分30秒
************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 11;
int MOD;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)
struct mat{
int m[maxn][maxn];
}unit;
int n;
mat operator * (mat a,mat b){
mat ret;
ll x;
for(int i=0;i<10;i++){
for(int j=0;j<10;j++){
x = 0;
for(int k=0;k<10;k++)
x += mod( (ll)a.m[i][k]*b.m[k][j] );
ret.m[i][j] = mod(x);
}
}
return ret;
}
// 初始化单位阵
void init_unit(){
for(int i=0;i<10;i++)
unit.m[i][i] = 1;
return;
}
mat pow_mat(mat a,ll x){
mat ret = unit;
while(x){
if(x&1) ret = ret*a;
a = a*a;
x >>= 1;
}
return ret;
}
int main(){
mat a , f;
int aa[10];
ll k;
init_unit();
memset(f.m,0,sizeof(f.m));
for(int i=0;i<10;i++) f.m[i][0] = 9-i;
while(cin>>k>>MOD){
for(int i=0;i<10;i++) cin>>aa[i];
if(k<10) printf("%lld\n",k);
else{
// 构建a矩阵
for(int j=0;j<10;j++) a.m[0][j] = aa[j];
for(int i=1;i<10;i++){
for(int j=0;j<10;j++){
if(j+1==i) a.m[i][j] = 1;
else a.m[i][j] = 0;
}
}
mat ans = pow_mat(a,k-9);
ans = ans*f;
printf("%d\n",ans.m[0][0]%MOD);
}
}
return 0;
}
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