a map is a function. 映射即函数;

1. 双线性映射与双线性形式

bilinear map

  • 基于同一定义域,将两个向量空间(V,W)中的向量映射为第三个向量空间(X)的向量的函数;

    B:V×W→X

    如此对于任意的(fixed) w∈W,则称 v↦B(v,w) 是一个从 V(任意的 v) 到 X 的映射为 linear map,线性映射;

    同理对于任意的(fixed) v∈V,则称 w↦B(v,w) 是一个从 W 到 X 的映射为 linear map;

  • bilinear form

    更进一步对 bilinear map 进行约束和限制,

    V×V→K

    比如如下的一种形式,

    B(v,w)=xTAy=∑i,jxiAijyj

    本身形式上,两个同一线性空间映射到实数空间(field of scalars);

2. 正交函数

具有双线性形式的,V×V→K,向量空间和向量空间中的向量映射为一个标量。这里的向量空间指的是,函数空间(function space),

⟨f,g⟩=∫f(x)g(x)dx

只有当积分为 0 时,也即 ⟨f,g⟩=0 时,才称两函数正交;

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