『NOIP 2019Day2 T3』 保卫王国（defense）

重温NOIP2018的试题，发现只要好好想想还是能想出一些东西的。

比如说本题是一个DDP的模板题，硬是做成了倍增优化DP的题目。

对于给出的$n$个节点的树，每个点都有点权$v_i$，共$Q$次询问。

每次询问指定两个点的状态取或者不取，询问树中最小权覆盖集。

如果最小权覆盖集不存在，输出$-1$

对于$100\%$保证$1 \leq n,m \leq 10^5 , 1 \leq v_i \leq 10^9$

Solution :

　　我们设$g[u][0/1]$表示节点$u$是否选择，$u$的子树最小权覆盖集。

　　一个显然的转移是$g[u][0] = \sum\limits_{v \in u_{son}} g[v][1] , g[u][1] = val[u] + \sum\limits_{v \in u_{son}} min(g[v][0],g[v][1])$

　　为了解决$Q$个询问，我们需要设倍增数组来优化上述转移。

​ 设$其中f[u][i][p][q] ( 其中p,q =0,1)$表示从$father(u)$到$u$向上跳$2^i$步的节点，其中$u$状态是$p $，$u$向上跳$2^i$得到的节点状态是$q$这段贡献最小值。

​ 我们显然可以通过一次$dfs$,计算出$f[u][0][0/1][0/1] , g[u][0/1]$的值

• $f[u][0][0][0] = inf$
• $f[u][0][0][1] = val[father(u)] + \sum\limits_{v \in father(u)_{son} v \neq u}min\{g[v][0],g[v][1]\}$
• $f[u][0][1][0] =\sum\limits_{v \in father(u)_{son}} g[v][1]$
• $f[u][0][1][1]= val[father(u)] + \sum\limits_{v \in father(u)_{son} v \neq u}min\{g[v][0],g[v][1]\}$

然后我们也能通过$O(n \ log_2 \ n)$的复杂度预处理上述的倍增的数组，和$lca$的数组

处理每个询问的时候，把$u,v$在同一条链上的情况和$u,v$不在一条链上的情况进行讨论

（主要是向上跳的位置及贡献计算不同）

在向上跳的时候记录两个变量$ret0,ret1$表示当前节点取或不取当前的子树最小权覆盖集。

由于向上跳的步数倍增预处理完毕，一次询问最多只会向上跳$log_2n$步，

所以本题的时间复杂度就是$O((n+m) log_2 n )$

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long
# define inf (1e12)
using namespace std;
const int N=5e5+;
struct rec{ int pre,to;}a[N<<];
int n,m,tot; char type[];
int f[N][][][],g[N][],d[N][],dep[N];
int sum1[N],sum2[N],head[N],val[N];
inline int read()
{
    int X=,w=; char c=;
    while(c<''||c>'') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') X=(X<<)+(X<<)+(c^),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x) {
    if (x<) putchar('-'),x=-x;
    if (x>) write(x/);
    putchar(''+x%);
}
void adde(int u,int v) {
    a[++tot].pre=head[u];
    a[tot].to=v;
    head[u]=tot;
}
void dfs1(int u,int fa) {
    dep[u]=dep[fa]+;
    g[u][]=; g[u][]=val[u]; d[u][]=fa;
    sum1[u]=; sum2[u]=;
    for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) {
        int v=a[i].to; if (v==fa) continue;
        dfs1(v,u);
        g[u][]+=g[v][];
        g[u][]+=min(g[v][],g[v][]);
        sum1[u]+=g[v][];
        sum2[u]+=min(g[v][],g[v][]);
    }
}
void dfs2(int u,int fa) {
    for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) {
        int v=a[i].to; if (v==fa) continue;
        dfs2(v,u);
    }
    if (u != ) {
        f[u][][][] = inf;
        f[u][][][] = val[fa] + sum2[fa] - min(g[u][],g[u][]);
        f[u][][][] = sum1[fa] - g[u][];
        f[u][][][] = val[fa] + sum2[fa] - min(g[u][],g[u][]);
    }
}
int lca(int u,int v) {
    if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    for (int i=;i>=;i--)
     if (dep[d[u][i]]>=dep[v]) u=d[u][i];
    if (u==v) return u;
    for (int i=;i>=;i--)
     if (d[u][i]!=d[v][i]) u=d[u][i],v=d[v][i];
    return d[u][];
}
int work2(int u,int op1,int v,int op2) {
    int ret0=g[u][],ret1=g[u][];
    if (op1 == ) ret0=inf; else ret1=inf;
    bool flag = true;
    int tmp0,tmp1;
    for (int i=;i>=;i--) {
        if (dep[d[u][i]]<=dep[v]) continue;
        tmp0=ret0,tmp1=ret1;
        ret0 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        ret1 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        u = d[u][i];
    }
 
    tmp0=ret0,tmp1=ret1;
    ret0 = tmp1 + sum1[v] - g[u][];
    ret1 = min(tmp1,tmp0) + sum2[v] - min(g[u][],g[u][]) + val[v];
    if (op2 == ) ret1=inf; else ret0=inf;
    u = v;
    for (int i=;i>=;i--) {
        if (dep[d[u][i]]<dep[]) continue;
        tmp0=ret0,tmp1=ret1;
        ret0 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        ret1 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        u=d[u][i];
    }
    int ans = min(ret0,ret1);
    if (ans>=inf) return -; else return ans;
}
int work(int u,int op1,int v,int op2) {
    if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v),swap(op1,op2);
    int l=lca(u,v);
    if (l == v) return work2(u,op1,v,op2);
    int ret0=g[u][],ret1=g[u][];
    if (op1 == ) ret0=inf; else ret1=inf;
    bool flag = true; int tmp0,tmp1;
    for (int i=;i>=;i--) {
        if (dep[d[u][i]]<=dep[l]) continue;
        tmp0=ret0,tmp1=ret1;
        ret0 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        ret1 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        u = d[u][i];
    }
    int val1[]; val1[] = ret0; val1[] = ret1;
    ret0=g[v][],ret1=g[v][];
    if (op2 == ) ret0=inf; else ret1=inf;
    flag = true;
    for (int i=;i>=;i--) {
        if (dep[d[v][i]]<=dep[l]) continue;
        tmp0=ret0,tmp1=ret1;
        ret0 = min(tmp0+f[v][i][][],tmp1+f[v][i][][]);
        ret1 = min(tmp0+f[v][i][][],tmp1+f[v][i][][]);
        v = d[v][i];
    }
    int val2[]; val2[] = ret0; val2[] = ret1;
    ret0 = val1[]+val2[]+sum1[l]-g[u][]-g[v][];
    ret1 = val[l] + min(val1[],val1[]) + min(val2[],val2[]) + sum2[l] - min(g[u][],g[u][]) - min(g[v][],g[v][]);
    u = l;
    for (int i=;i>=;i--) {
        if (dep[d[u][i]]<dep[]) continue;
        tmp0=ret0,tmp1=ret1;
        ret0 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        ret1 = min(tmp0+f[u][i][][],tmp1+f[u][i][][]);
        u=d[u][i];
    }
 
    int ans = min(ret0,ret1);
    if (ans>=inf) return -; else return ans;
}
signed main()
{
    n=read();m=read(); scanf("%s",type);
    for (int i=;i<=n;i++) val[i]=read();
    for (int i=;i<=n;i++) {
        int u=read(),v=read();
        adde(u,v); adde(v,u);
    }
    dfs1(,); dfs2(,);
    for (int i=;i<=;i++)
     for (int j=;j<=n;j++)
      d[j][i]=d[d[j][i-]][i-];
    for (int i=;i<=;i++)
     for (int u=;u<=n;u++) {
         f[u][i][][]=f[u][i][][]=f[u][i][][]=f[u][i][][]=inf;
         for (int p=;p<=;p++) {
              f[u][i][][] = min(f[u][i][][],f[u][i-][][p] + f[d[u][i-]][i-][p][]);
            f[u][i][][] = min(f[u][i][][],f[u][i-][][p] + f[d[u][i-]][i-][p][]);
            f[u][i][][] = min(f[u][i][][],f[u][i-][][p] + f[d[u][i-]][i-][p][]);
            f[u][i][][] = min(f[u][i][][],f[u][i-][][p] + f[d[u][i-]][i-][p][]);
          }
    }
    while (m--) {
        int u=read(),op1=read(),v=read(),op2=read();
        int ans = work(u,op1,v,op2);
        write(ans); putchar('\n');
    }
    return ;
}

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