loj 2336「JOI 2017 Final」绳

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首先,所有位置最多被染色一次,因为要染多次的话,还不如一开始就染成最终的颜色.并且你可以一开始就染好色

因为最终长度为2,那么如果染完后这个序列可以被折完,那么首先最多只有两种颜色,还有就是要满足对于所有同色极大联通块长度都要是偶数,不过第一个和最后一个长度可以为奇数

证明的话,先证充分条件,即这样子一定合法.可以搞出一个方法,每次只操作后面.先把最后面一个连通块长度缩成1(这样一定最优),然后因为接下来一个连通块长度为偶数,所以可以把接下来那个轴对称翻过去,然后重复这个操作直到长度为2.然后证中间有长度为奇数的一定不合法.首先如果缩到最后中间只有一个奇数长度的,那么你是翻不过去的.然后如果有多个奇数连通块,那么你怎么翻,中间部分都有奇数长度的.如果还是不理解可以问这个人(tpq)

然后考虑计算答案.首先长度为偶数的连通块可以拆成若干个长度为\(2\)的连通块,再根据第一个长度为\(2\)的连通块的起始位置是\(1\)还是\(2\)分类讨论,还有要使得染色次数最少,等价于不染色位置最多.枚举每一种颜色来算对应答案,如果连通块两个都是这种颜色,那么显然不用改;如果两个都不是这种颜色,那么都要染成另一种颜色,这种颜色是什么先不考虑;如果一个当前颜色一个不是当前颜色,那么可以发现把不是当前颜色的改成当前颜色一定不亏.现在再考虑另外一种颜色是什么,我们要尽量使得这种颜色位置最多,不过可能有些位置和当前枚举颜色在一起,这些位置要染掉,那么这种颜色的贡献就是出现总次数(\(记为cnt\))-和当前颜色在同一块的块个数(\(记为f_{i,j}\)).所以一种颜色答案\(i\)为\(n-cnt_i-\max_{j\neq i} (cnt_j-f_{i,j})\)

写的时候,\(f_{i,j}\)可以先把颜色不同的块内的两种颜色相互连边,然后\(f_{i,j}\)就是\(i,j\)之间的边数.然后按照\(cnt_j\)从大到小枚举另一种颜色,并且如果枚举到\(f_{i,j}=0\)的\(j\)就不用枚举了,接下来一定不优

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db double

using namespace std;
const int N=1e6+10;
int rd()
{
	int x=0,w=1;char ch=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*w;
};
int n,m,a[N],cn[N],sq[N],an[N],f[N][2];
int v[N];
bool cmp(int aa,int bb){return cn[aa]>cn[bb];}
vector<int> e[N];
void wk()
{
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		vector<int>::iterator it;
		for(it=e[i].begin();it!=e[i].end();++it)
			++v[*it];
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int x=sq[j];
			if(i==x) continue;
			an[i]=max(an[i],cn[i]+cn[x]-v[x]);
			if(!v[x]) break;
		}
		for(it=e[i].begin();it!=e[i].end();++it)
			--v[*it];
	}
}

int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rd(),++cn[a[i]];
	for(int i=1;i<=m;++i)
		an[i]=cn[i],sq[i]=i;
	sort(sq+1,sq+m+1,cmp);
	for(int i=1;i+1<=n;i+=2)
		if(a[i]!=a[i+1])
			e[a[i]].push_back(a[i+1]),e[a[i+1]].push_back(a[i]);
	wk();
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i].clear();
	for(int i=2;i+1<=n;i+=2)
		if(a[i]!=a[i+1])
			e[a[i]].push_back(a[i+1]),e[a[i+1]].push_back(a[i]);
	wk();
	for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",n-an[i]);
	return 0;
}