以往对于差分约束理解不是太深,导致这题屡次被坑,在此记录一下细节的理解。


差分约束实际上就是利用了spfa的一个特性:只要有$dis_y>dis_x+w_{x,y}$就松弛,直到所有边关系都满足$dis_y\le dis_x+w_{x,y}$,而这一不等式恰好可以套在差分约束问题里。差分约束要求满足前面这个玩意,把每个变量的值看做$dis_i$,建边,跑spfa最短路,使得所有边都满足关系。这个之前就已经明白了。

但是忽视了一点:注意到跑出来的最短路中$dis$即为$x$的一组合法取值,并且这组取值同时加上某个值$a$,也是满足不等式约束的。不过,这些解集构成的集合,并不是解集集合的全集(有点绕),显然在跑spfa时只是使得每个点的$dis$贴着松弛他的$dis+w$,其实这个实际取值$x$还可以更小。而如果用最长路的建边方式,$x$可以更大。两者都是等效的。在这题里面,由于要求每个数都是正整数且总和最小,并不可以使用建负权边跑最短路的方法。。。因为解出来的解集即使全部平移到正数区域,你也不知道有没有哪些数可以更小一些,哪些数不能再小了。而建正权边跑最长路,根据上述分析,每个$x$也就是$dis$必然是贴着最小的可能取值的,这样就极其简便的获取最小解。

第二个点,因为spfa理论复杂度$O(mn)$,所以想卡很容易,再加上这题由于差分约束要把所有点都加入队列,所以很容易想到如果构造一条链,连边全部反过来,$1\leftarrow 2\leftarrow ...\leftarrow n$,显然会跑接近$n^2$次,不过数据里并没有故意卡,倒是有一个顺着正向的链的data,我这里采用直接顺着加入队列就没有问题了。但是实际上还是可以卡的?另外,有的点明显spfa被卡,但是有数据连了-1的自环,可以提前特判结束。

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. #include<queue>
  7. #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
  8. #define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<" "<< #y <<" = "<< y <<endl
  9. using namespace std;
  10. typedef long long ll;
  11. typedef double db;
  12. typedef pair<int,int> pii;
  13. template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
  14. template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
  15. template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,):;}
  16. template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,):;}
  17. template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
  18. template<typename T>inline T read(T&x){
  19. x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
  20. while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
  21. }
  22. const int N=1e5+;
  23. struct thxorz{int to,nxt,w;}G[N<<];
  24. int Head[N],tot,inq[N],rel[N];
  25. int n,m;
  26. ll ans;
  27. inline void Addedge(int x,int y,int z){G[++tot].to=y,G[tot].nxt=Head[x],Head[x]=tot,G[tot].w=z;}
  28. queue<int> q;
  29. ll dis[N];
  30. #define y G[j].to
  31. inline bool spfa(){
  32. for(register int i=;i<=n;++i)q.push(i),inq[i]=,dis[i]=;
  33. while(!q.empty()){
  34. int x=q.front();q.pop();inq[x]=;//dbg2(x,dis[x]);
  35. for(register int j=Head[x];j;j=G[j].nxt)if(MAX(dis[y],dis[x]+G[j].w)){
  36. rel[y]=rel[x]+;if(rel[y]>=n)return ;
  37. if(!inq[y])inq[y]=,q.push(y);
  38. }
  39. }
  40. return ;
  41. }
  42. #undef y
  43. int main(){//freopen("1.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
  44. read(n),read(m);
  45. for(register int i=,opt,x,y;i<=m;++i){
  46. read(opt),read(x),read(y);
  47. if(opt==)Addedge(x,y,),Addedge(y,x,);
  48. else if(opt==)Addedge(x,y,);
  49. else if(opt==)Addedge(y,x,);
  50. else if(opt==)Addedge(y,x,);
  51. else Addedge(x,y,);
  52. if((opt==||opt==)&&x==y){printf("-1\n");return ;}
  53. }
  54. if(spfa()){
  55. for(register int i=;i<=n;++i)ans+=dis[i];
  56. printf("%lld\n",ans);
  57. }
  58. else puts("-1");
  59. return ;
  60. }

2019.11.01UPD:

关于正权图或者负权图的差分约束有更快的线性做法。

以最长路为例,如果图上只有正权边和零边,那么,只要看有没有环是正环,也就是说,对于每一条正边,如果他在一个SCC里,那显然就是正环了,直接判无解。否则,有环的话也只能是零环,零环意味着环上所有点值相同(因为一个被更新,所有点最长路顺着一圈都被更新),所以可以把他们缩掉,这样就变成了一张DAG,这时候就可以直接拓扑排序更新最大值了,最后每个点所在SCC的值就是他的解了。复杂度线性。当然,环上有正有负就不好整了。spfa又死了。

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. #include<queue>
  7. #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
  8. #define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<" "<< #y <<" = "<< y <<endl
  9. using namespace std;
  10. typedef long long ll;
  11. typedef double db;
  12. typedef pair<int,int> pii;
  13. template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
  14. template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
  15. template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,):;}
  16. template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,):;}
  17. template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
  18. template<typename T>inline T read(T&x){
  19. x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
  20. while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
  21. }
  22. const int N=1e5+;
  23. int n,m;
  24. ll ans;
  25. struct thxorz{
  26. int head[N],nxt[N<<],to[N<<],from[N<<],w[N<<],tot;
  27. inline void add(int x,int y,int z){to[++tot]=y,from[tot]=x,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot,w[tot]=z;}
  28. }G1,G2;
  29. int dfn[N],low[N],stk[N],instk[N],bel[N],scc,tim,top;
  30. #define y G1.to[j]
  31. void tarjan(int x){
  32. dfn[x]=low[x]=++tim,stk[++top]=x,instk[x]=;
  33. for(register int j=G1.head[x];j;j=G1.nxt[j]){
  34. if(!dfn[y])tarjan(y),MIN(low[x],low[y]);
  35. else if(instk[y])MIN(low[x],dfn[y]);
  36. }
  37. if(low[x]==dfn[x]){
  38. int tmp;++scc;
  39. do instk[tmp=stk[top--]]=,bel[tmp]=scc;while(tmp^x);
  40. }
  41. }
  42. #undef y
  43. queue<int> q;
  44. int dis[N],deg[N];
  45. #define y G2.to[j]
  46. inline void topo(){
  47. for(register int i=;i<=scc;++i){dis[i]=;if(!deg[i])q.push(i);}
  48. while(!q.empty()){
  49. int x=q.front();q.pop();
  50. for(register int j=G2.head[x];j;j=G2.nxt[j]){
  51. MAX(dis[y],dis[x]+G2.w[j]);
  52. if(!(--deg[y]))q.push(y);
  53. }
  54. }
  55. }
  56. #undef y
  57. int main(){//freopen("1.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
  58. read(n),read(m);
  59. for(register int i=,opt,x,y;i<=m;++i){
  60. read(opt),read(x),read(y);
  61. if(opt==)G1.add(x,y,),G1.add(y,x,);
  62. else if(opt==)G1.add(x,y,);
  63. else if(opt==)G1.add(y,x,);
  64. else if(opt==)G1.add(y,x,);
  65. else G1.add(x,y,);
  66. }
  67. for(register int i=;i<=n;++i)if(!dfn[i])tarjan(i);
  68. for(register int t=;t<=G1.tot;++t){
  69. int x=G1.from[t],y=G1.to[t];
  70. if(bel[x]==bel[y]&&G1.w[t]){puts("-1");return ;}
  71. else if(bel[x]^bel[y])G2.add(bel[x],bel[y],G1.w[t]),++deg[bel[y]];
  72. }
  73. topo();
  74. for(register int i=;i<=n;++i)ans+=dis[bel[i]];
  75. printf("%lld\n",ans);
  76. return ;
  77. }

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