UOJ#424 【集训队作业2018】count
题意
我们定义长度为\(n\),每个数为\(1\sim m\)之间的整数且\(1\sim m\)都至少出现一次的序列为合法序列。再定义\(pos(l,r)\)表示这个序列的区间\([l,r]\)之间的最大值出现的位置(如果有多个取最左端),如果两个序列\(A\),\(B\)的所有\(pos\)值都相同,则\(A\)和\(B\)是同构的。问有多少不同构的合法序列。
\(n,m\leq 100000\)。
题解
首先\(n<m\)显然是无解的。
考虑什么样的序列是同构的,那么我们首先要有一个能方便的表示区间最大值的位置的数据结构,那就是笛卡尔树。显然只要两个序列的笛卡尔树同构,这两个序列就同构。
那么关于\(m\)的限制应该怎么办呢?
由于有多个相同的算在最左边,因此可以发现在笛卡尔树中,每个点的左儿子的键值都小于这个点的键值,右儿子则是小于等于。那么如果这颗笛卡尔树要是合法的,就有一个必要条件:记\(len(x)\)代表从根到节点\(x\)经过的走向左儿子的路径数量(简称为左链长度),那么对于任意的\(x\),有\(len(x)<m\)。
接下来我们证明在\(n\geq m\)时这是一个充分条件。考虑用满足条件的笛卡尔树构造一个合法序列,只需要先将最长的链中每个点赋值为\(m-点的深度\)(根的深度为\(0\)),接下来不断寻找最深的没有赋值的点,将其赋值为没有出现过的数中的最小值即可。剩下的点只需要赋值为\(父亲的值-1\)。易证这样一定可以得到一个合法序列。
于是我们只需要求\(n\)个点,左链长度不超过\(m-1\)的二叉树个数即可。
设\(f_{i,j}\)表示\(j\)个点,左链长度不超过\(i\)的二叉树个数,考虑枚举左子树的大小,于是就有:
\]
平凡情况有\(f_{0,j}=1\)。
那么将上式表达为卷积,就有:
\]
等价于:
\]
直接做似乎很不可做,但是通过这个式子我们可以得到\(f_i\)可以分解为\(\frac{a_i}{b_i}\),其中\(a_i\),\(b_i\)是两个次数界为\(O(i)\)的多项式,那么考虑求\(a_i\),\(b_i\):
\]
\]
于是就得到\(a_i=b_{i-1}\),\(b_i=b_{i-1}-a_{i-1}x\),将转移关系用矩阵来表示就得到:
\]
那么可以通过矩阵快速幂来求\(a_i\),\(b_i\)。但是直接在矩阵中用多项式进行计算会很麻烦,因此不妨考虑用单位根代入求点值,用\(\rm IDFT\)插出多项式即可。复杂度\(O(n\log n)\)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using std::swap;
const int mod=998244353;
inline int add(int a,int b)
{
return (a+=b)>=mod?a-mod:a;
}
inline int sub(int a,int b)
{
return (a-=b)<0?a+mod:a;
}
inline int mul(int a,int b)
{
return (long long)a*b%mod;
}
inline int qpow(int a,int b)
{
int res=1;
for(;b;a=mul(a,a),b>>=1)
if(b&1)
res=mul(res,a);
return res;
}
const int N=1e6+5;
int rev[N];
inline void ntt(int *f,int n,int p)
{
int w,wi,u,t;
register int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++)
if(i<(rev[i]=i&1?rev[i^1]|n>>1:rev[i>>1]>>1))
swap(f[i],f[rev[i]]);
for(i=1;wi=qpow(qpow(3,(mod-1)/(i<<1)),p^1?mod-2:1),i<<1<=n;i<<=1)
for(j=0;w=1,j<n;j+=i<<1)
for(k=0;k<i;w=mul(w,wi),k++)
u=f[j+k],t=mul(w,f[j+k+i]),f[j+k]=add(u,t),f[j+k+i]=sub(u,t);
if(!~p)
for(w=qpow(n,mod-2),i=0;i<n;i++)
f[i]=mul(w,f[i]);
return;
}
inline void poly_mul(int *f,int *g,int n)
{
register int i;
memset(f+n,0,sizeof(int)*n);
memset(g+n,0,sizeof(int)*n);
ntt(f,n<<1,1);f==g?void():ntt(g,n<<1,1);
for(i=0;i<n<<1;i++)
f[i]=mul(f[i],g[i]);
ntt(f,n<<1,-1);f==g?void():ntt(g,n<<1,-1);
return;
}
int F[N],G[N];
int _g[N];
inline void poly_inv(int *f,int n)
{
register int i,j;
memset(_g,0,sizeof(int)*n);
_g[0]=qpow(f[0],mod-2);
for(i=1;i<<1<=n;i<<=1)
{
memcpy(F,f,sizeof(int)*(i<<1));
memcpy(G,_g,sizeof(int)*i);
poly_mul(G,G,i);poly_mul(F,G,i<<1);
for(j=0;j<i<<1;j++)
_g[j]=sub(add(_g[j],_g[j]),F[j]);
}
memcpy(f,_g,sizeof(int)*n);
return;
}
int a[2][2],b[2][2],res[2][2];
inline void matrix_qpow(int p)
{
res[0][0]=res[1][1]=1;res[0][1]=res[1][0]=0;
for(;p;p>>=1)
{
if(p&1)
{
b[0][0]=add(mul(res[0][0],a[0][0]),mul(res[0][1],a[1][0]));
b[0][1]=add(mul(res[0][0],a[0][1]),mul(res[0][1],a[1][1]));
b[1][0]=add(mul(res[1][0],a[0][0]),mul(res[1][1],a[1][0]));
b[1][1]=add(mul(res[1][0],a[0][1]),mul(res[1][1],a[1][1]));
memcpy(res,b,sizeof(b));
}
b[0][0]=add(mul(a[0][0],a[0][0]),mul(a[0][1],a[1][0]));
b[0][1]=add(mul(a[0][0],a[0][1]),mul(a[0][1],a[1][1]));
b[1][0]=add(mul(a[1][0],a[0][0]),mul(a[1][1],a[1][0]));
b[1][1]=add(mul(a[1][0],a[0][1]),mul(a[1][1],a[1][1]));
memcpy(a,b,sizeof(b));
}
return;
}
int n,m;
int f[N],g[N];
signed main()
{
int _=1<<17,w=1,wi=qpow(3,(mod-1)/_);
register int i;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n<m)
return puts("0"),0;
for(i=0;i<_;i++)
{
a[0][0]=0;a[0][1]=1;a[1][0]=sub(0,w);a[1][1]=1;
matrix_qpow(m);
f[i]=add(res[0][0],res[0][1]);g[i]=add(res[1][0],res[1][1]);
w=mul(w,wi);
}
ntt(f,_,-1);ntt(g,_,-1);
poly_inv(g,_);
poly_mul(f,g,_);
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}
UOJ#424 【集训队作业2018】count的更多相关文章
- uoj #450[集训队作业2018]复读机
传送门 \(d=1\),那么任何时刻都可以\(k\)个复读机的一种,答案为\(k^n\) \(d>1\),可以枚举某个复读机的复读次数(必须是\(d\)的倍数),然后第\(i\)个复读时间为\( ...
- UOJ 422 [集训队作业2018] 小Z的礼物 min-max容斥 期望 轮廓线dp
LINK:小Z的礼物 太精髓了 我重学了一遍min-max容斥 重写了一遍按位或才写这道题的. 还是期望多少时间可以全部集齐. 相当于求出 \(E(max(S))\)表示最后一个出现的期望时间. 根据 ...
- UOJ #449. 【集训队作业2018】喂鸽子
UOJ #449. [集训队作业2018]喂鸽子 小Z是养鸽子的人.一天,小Z给鸽子们喂玉米吃.一共有n只鸽子,小Z每秒会等概率选择一只鸽子并给他一粒玉米.一只鸽子饱了当且仅当它吃了的玉米粒数量\(≥ ...
- 【UOJ#450】【集训队作业2018】复读机(生成函数,单位根反演)
[UOJ#450][集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) 题面 UOJ 题解 似乎是\(\mbox{Anson}\)爷的题. \(d=1\)的时候,随便怎么都行,答案就是\(k^n\). ...
- 【UOJ#422】【集训队作业2018】小Z的礼物(min-max容斥,轮廓线dp)
[UOJ#422][集训队作业2018]小Z的礼物(min-max容斥,轮廓线dp) 题面 UOJ 题解 毒瘤xzy,怎么能搬这种题当做WC模拟题QwQ 一开始开错题了,根本就不会做. 后来发现是每次 ...
- UOJ#418. 【集训队作业2018】三角形
#418. [集训队作业2018]三角形 和三角形没有关系 只要知道儿子放置的顺序,就可以直接模拟了 记录历史最大值 用一个pair(a,b):之后加上a个,期间最大值为增加b个 合并? A1+A2= ...
- UOJ#422. 【集训队作业2018】小Z的礼物
#422. [集训队作业2018]小Z的礼物 min-max容斥 转化为每个集合最早被染色的期望时间 如果有x个选择可以染色,那么期望时间就是((n-1)*m+(m-1)*n))/x 但是x会变,中途 ...
- UOJ#428. 【集训队作业2018】普通的计数题
#428. [集训队作业2018]普通的计数题 模型转化好题 所以变成统计有标号合法的树的个数. 合法限制: 1.根标号比子树都大 2.如果儿子全是叶子,数量B中有 3.如果存在一个儿子不是叶子,数量 ...
- uoj450 【集训队作业2018】复读机(生成函数,单位根反演)
uoj450 [集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) uoj 题解时间 首先直接搞出单个复读机的生成函数 $ \sum\limits_{ i = 0 }^{ k } [ d | i ] ...
- [UOJ422][集训队作业2018]小Z的礼物——轮廓线DP+min-max容斥
题目链接: [集训队作业2018]小Z的礼物 题目要求的就是最后一个喜欢的物品的期望得到时间. 根据$min-max$容斥可以知道$E(max(S))=\sum\limits_{T\subseteq ...
随机推荐
- java多线程中的死锁情况读书笔记
多线程中的死锁 在前面的分析中,我们知道一个对象可以用Synchronized方法或者其他的加锁形式来防止别的任务在互斥还没有释放的时候就访问这个对象. 试想一下这样的情况:某个任务在等待另一个任务, ...
- 2019年春季学期《C语言程序设计II》助教注意事项
本学期<C语言程序设计II>课程安排 理论课时24(1-12周),实验课时8(13周),课程设计课时16(14-15周) 理论课教学内容 附:教学进度表 本学期实验课和课程设计参考教材 & ...
- 添加mysqld、apache服务到windows服务
mysqld --install “d:\apache\bin\httpd.exe” -k install
- EXCEL2007出错了无法使用文档中的ActiveX 控件
EXCEL2007出错了无法使用文档中的ActiveX 控件虽说是很久之前的问题,但是正确的解决方法和原因如下!原因:系统update之后出现的问题解决方法:删除C:\Users\[username] ...
- 【LeetCode9】Palindrome Number★
题目描述: 解题思路: 求回文数,并且要求不能使用额外的空间.思路很简单,算出x的倒置数reverse,比较reverse是否和x相等就行了. Java代码: public class LeetCod ...
- ccf201703-2学生排队
问题描述 体育老师小明要将自己班上的学生按顺序排队.他首先让学生按学号从小到大的顺序排成一排,学号小的排在前面,然后进行多次调整.一次调整小明可能让一位同学出队,向前或者向后移动一段距离后再插入队列. ...
- C# HtmlAgilityPack和AngleSharp 解析HTML
C# HtmlAgilityPack和AngleSharp 解析HTML by:wgscd date:2018-1-17 HtmlAgilityPack 有点是只有一个单独DLL.AngleShar ...
- 20155209林虹宇Exp4 恶意代码分析
Exp4 恶意代码分析 系统运行监控 使用schtasks指令监控系统运行 新建一个txt文件,然后将txt文件另存为一个bat格式文件 在bat格式文件里输入以下信息 然后使用管理员权限打开cmd, ...
- python 回溯法 子集树模板 系列 —— 16、爬楼梯
问题 某楼梯有n层台阶,每步只能走1级台阶,或2级台阶.从下向上爬楼梯,有多少种爬法? 分析 这个问题之前用分治法解决过.但是,这里我要用回溯法子集树模板解决它. 祭出元素-状态空间分析大法:每一步是 ...
- Hadoop开发第2期---虚拟机中搭建Linux
注:关于如何将hadoop源码导入Eclipse详见http://pan.baidu.com/s/1hq8ArUs 一.Hadoop配置软件(我的电脑是Windows7旗舰--64bit) 1. VM ...