【xsy1281】 珠串 打表+乱搞or数位dp
题目大意:你要找出一个有$k$个的本质不同的$n$位二进制数的集合,使得集合中最大的数最小,请输出这个数
本质不同定义:对于一个数$k$,$rev(k)$,$~k$,$rev(~k)$与$k$本质相同。其中$~k$表示对$k$的每一位二进制翻转,$rev(k)$表示对$k$左右翻转。
举个例子:对于数0001,它与1000,1110,0111本质相同。
数据范围:$n≤25,k≤10^{16}$。
此题貌似正解是数位dp,然而我比较菜。
看到这一题:打表啊!
于是打了个表,发现:
若$k≤2^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}-2$,则直接输出$k$就可以了,证明显然。
若$k>2^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}-2$
先考虑$n$为偶数的情况,我们打一个表,打出所有满足$rev(x)<x$或$(~x)<x$或$rev(~x)<x$的数,大概长这样
我们发现:以中间的分界线为界,当左侧构成的数去掉前导零后构成$x$,那么以$x$开头的不符合要求的二进制数就有$2x$个。
(感兴趣的同学可以证明一下,我懒得证了23333)
我们基于这一个特征,先确定这个二进制数的前$\frac{n}{2}$位。
后面的$\frac{n}{2}$位直接暴力枚举然后再随便判断一下就好了。
n为奇数的情况相似
以中间为分界线,当右侧横线左侧的数为$x$时,以$x$为前缀的$n$位二进制数有$x$个。
和之前的搞法一样随便搞一搞就可以了。
时间复杂度:$O(2^{n/2})$,空间复杂度:$O(2^{n/2})$。
#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
using namespace std; int rev[<<]={};
L n,k; void out(L k1){for(L i=;i<n;i++) printf("%d",bool((1LL<<(n-i-))&k1));} void SolveEven(){
L n2=n/,s=<<n2,all=1LL<<n;
if(k<s){
out(k);
return;
}else k-=s;
for(int i=;i<s;i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)?(s>>):);
for(int i=,j=;i<s;i++,j+=){
if(k>=s-j) k-=s-j;
else{
int p; for(p=;p<s&&k>=;p++){
L k1=(1LL*i)<<n2|p;
L k2=(1LL*rev[p])<<n2|rev[i];
L k3=(1LL*rev[(s--p)&(s-)])<<n2|rev[s--i];
if(k2>=k1&&k3>=k1)
k--;
}
L k1=(1LL*i)<<n2|(p-);
out(k1);
return;
}
}
cout<<-<<endl;
}
void SolveOdd(){
L n2=n/,s=<<n2,all=1LL<<n;
L N2=(n+)/,S=<<N2;
if(k<S-){
out(k);
return;
}else k-=S-;
for(int i=;i<s;i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)?(s>>):);
for(int i=,j=;i<s;i++,j++){
if(k>=s-j) k-=s-j;
else{
int p; for(p=;p<s&&k>=;p++){
L k1=(1LL*i)<<n2|p;
L k2=((i&)<<n2)|((1LL*rev[p])<<N2)|rev[i>>];
L k3=(((i&)==)<<n2)|((1LL*rev[(s-p-)&(s-)])<<N2)|rev[s--(i>>)];
if(k2>=k1&&k3>=k1)
k--;
}
L k1=(1LL*i)<<n2|(p-);
out(k1);
return;
}
}
cout<<-<<endl;
} int main(){
cin>>n>>k;
if(n&) SolveOdd();
else SolveEven();
}
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