[hdu5448 Marisa’s Cake]多边形面积,公式化简
题意:给一个凸多边形,求任选若干点形成的多边形的面积和。
思路:
- 按一定方向(顺时针或逆时针)对多边形的顶点进行编号,则多边形的面积计算公式为:f1 x f2 + f2 x f3 + ... fn-1 x fn + fn x f1,fi 表示从参考点到i的向量。
- 考虑fi x fj 在答案中出现的次数,则答案可以写成:fi x fj * 2n-(j-i+1) (i<j) 或 fi x fj * 2i-j-1(i>j),直接枚举i和j是O(n2)的,显然不行。
- 由叉积的性质:∑(fi x P) = (∑fi) x P,可以预处理出fi*2i-1的前缀和以及fi/2i+1的前缀和,复杂度O(n),从而只需枚举一维,另一维的和O(1)得到,总复杂度O(n)。
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